Question

(Cesgranrio )O quadrado da figura tem diagonal CD igual a 10 cm . Os segmentos paralelos AB, CD , EF, dividem o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o comprimento do segmento AB.

Answer 1

Dada a diagonal de um quadrado igual a 10 temos:

D² = L² + L²
D² = 2L²
D = L√2
10 = L√2
L = 10/√2 = 7,07

Área do quadrado:

A = L.L = L²
A = 50

1/4 de área = 12,5

Note que a figura CABD forma um trapézio, portanto:

At = (B+b).h/2
12,5 = (10+b).(10 -x) /2
25 = (10+b).(10 - x)
25 = 100 + 10.b - 10.x - bx
25 = 100 + 10.b - x (10 + b)
x.(10+b) = 75 + 10.b
x = (75+10.b)/(10+b)

Agora o triangulo de base AB:

A = 12,5
12,5 = b.x
x = 12,5/b 

Igualando as duas equações temos:

(75+10.b)/(10+b) = 12,5/b
b.(75+10.b) = 125 + 12,5.b
75.b + 10.b² = 124 + 12,5.b
10.b² + 62,5.b - 124 = 0

Δ = 62,5² - 4 x 10 x (-124)
Δ = 3.906,25 + 4.960
Δ = 8.866,25

b = (- 62,5 + 94,16)/ (2 x 10)
b = 1,58

b' = (- 62,6 - 94,16)/20
b' = -7,83