Question

Cesgranrio (2014) Se c representa uma constante real qualquer, a integral indefinida ∫ e (ex + x) dx é dada por

Answer 1

Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int e^{e^{x +x}}\:dx = e^{e^x} +C } }$

Integral por Substituição:

Na prática devemos definir  substituir o diferencial $\textstyle \sf \sf dx$ pelo diferencial $\textstyle \sf \sf du$  de tal forma que a integral obtida.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf du = u'(x) \: dx \\ \\ \sf \int f(u)\: du = F(u) + C \end{cases} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int e^{e^{x +x}}\:dx } }$

Aplicando a propriedades das potências, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int e^{e^x} \cdot e^x\:dx } }$

Usando a Integral por Substituição, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf u = e^x \\ \sf du = e^x \: dx \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int e^{e^{x +x}}\:dx = \int e^{\overbrace{ \sf e^x}^{u} } \cdot \overbrace{ \sf e^x \: dx}^{du} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int e^{e^{x +x}}\:dx = \int e^{u} \: du } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int e^{e^{x +x}}\:dx = e^u +C } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int e^{e^{x +x}}\:dx = e^{e^x} + C }$

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