Question

(Cescem-SP) resolvendo a equação sin^(4)x -2sen^(2)xcos^(2)x+ cos^(4)x =0, para 0<=x<2\pi , tem-se como conunto solução: Por favor o passo a passo.

Answer 1

Tem-se:
$\sin^4 x -2\sin^2 x\cos^2 x + \cos^4 x = 0$

Reconhecemos o caso notável no lado esquerdo:
$(\sin^2 x - \cos^2 x)^2 = 0$

Como um quadrado só pode ser nulo se a base for nula, tem-se:
$\sin^2 x - \cos^2 x = 0$

Multiplicando por –1, obtemos:
$\cos^2 x - \sin^2 x= 0$

Reconhecemos agora a fórmula trigonométrica no lado esquerdo:
$\cos(2x) = 0$

Como o cosseno apenas se anula quando o argumento é da forma $\frac{\pi}{2} + k\pi$, com $k\in\mathbb{Z}$, obtemos:
$2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$

Finalmente, dividindo por 2, obtemos:
$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}, \quad k \in\mathbb{Z}$

Fazendo variar $k$, encontramos:
$x \in \left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3 \pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\right\} \subset [0, 2\pi[$