Question

Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100mg desse material e, se após 2 anos, 5% do material sofrer decaimento, determine a equação para a massa de material radioativo remanescente (em mg) em função do tempo (anos).
1º Pesquise sobre o modelo matemático que descreve a taxa de decaimento(proporcional) do material radioativo em relaçao ao tempo.
2º Encontrar a equação especifica para esse caso.

Answer 1

O modelo matemático que descreve a taxa de decaimento é dado pela função:

$N(t) = c.e^{-kt}$

sendo:

N(t) = quantidade da substância sujeita ao decrescimento

t = tempo

De acordo com o enunciado, N(0) = 100.

Então, temos que:

$100 = c.e^{k.0}$

$100 = c.e^0$

Lembrando que todo número elevado a 0 é igual a 1:

c = 100

Do enunciado sabemos, também que N(2) = 95, pois:

O material sofre decaimento de 5%, ou seja, 0,95.100 = 95.

Então, substituindo na expressão:

$95 = 100.e^{2k}$

$0,95 = e^{2k}$

$ln(0,95) = ln(e^{2k})$

ln(0,95) = 2k.ln(e)

ln(0,95) = 2k

$k = \frac{ln(0,95)}{2}$

$k = ln(0,95)^{1/2}$

Portanto, a equação especifica para esse caso é:

$N(t) = 100.e^{-(ln(0,95)^{\frac{1}{2}})$

$N(t) = 100.0,95^{-\frac{t}{2}}$