Question

Caro, aluno,você estudou durante esta unidade que a lei de Gauss é muito similar à Lei de Coulomb; a partir da primeira, podemos escrever uma relação entre campo elétrico e cargas para diferentes simetrias.

Além disso, a lei de Gauss facilita a dedução do campo elétrico para distribuições de carga discreta ou contínua na superfície a ser estudada. É fundamental que você saiba identificar a simetria e fazer a correta aplicação desta lei, para isso, considere o problema abaixo e resolva utilizando os conceitos que você aprendeu até aqui sobre campo elétrico, fluxo elétrico e distribuição de cargas.De posse das informações e dos conteúdos estudados até agora, considere um cilindro que contenha uma distribuição uniforme de carga ao longo de sua superfície, com uma densidade volumétrica de carga ρ, raio r e comprimento l e obtenha, utilizando a lei de Gauss:

a) o campo elétrico E em uma região interna do cilindro;

b) o campo elétrico E em uma região externa do cilindro.​

Answer 1

Para dentro:

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 }\,\frac{2\pi \rho r^2}{l r}$

Para fora:

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 }\,\frac{2\pi \rho R^2}{l r}$

utilizando a lei de gauss, temos que

$\oint_S E\cdot da=\frac{Q}{\epsilon_0}$

No caso de um cilindro, precisamos utilizar as coordenadas cilindricas para descrever a superfície gaussiana que facilitará o nosso trabalho.

Como a carga é distribuida unifirmemente, então existe simetria em todas as direções, a saber, radial, polar e o eixo z. Ou seja, Para um superficie fixada, o campo E será constante. Além disso, o campo é ortogonal à superficie e, por isso, $\bf \oint_S E\cdot da=\oint_S E da$

Portanto o campo dentro do cilindro será obtido ao se localizar uma superfície gaussiana (centralizada na origem):

$\oint_S E\cdot da=\int\int E\,r\,d\phi dz$

$\int\int E \,r\,d\phi\, dz=E\int\int \, r \, d\phi \, dz$

A integral em z resulta no comprimento $l$ e a integram em $\phi$ resulta em [/tex]2\pi[/tex]

Assim a integral para dentro será:

$E\int\int  \,r\,d\phi dz=E\,2\pi\,l\,r$.

Agora precisamos calcular a carga interna à esta distribuição.

A carga será:

$Q=\int\int\int\rho ' \,r'\,dr'\,d\phi '\,dz'$

$Q=2\pi \int\rho ' \,r'\,dr'$

$Q=2\pi \rho \frac{r'^2}{2}\bigg |^{r}_0$

$Q=2\pi \rho \frac{r^2}{2}$

E como dissemos no início:

$\oint_S E\cdot da=\frac{Q}{\epsilon_0}$

portanto:

$E 2\pi l r=\frac{2\pi \rho \frac{r^2}{2}}{\epsilon_0}$

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 }\,\frac{2\pi \rho r^2}{l r}$

Podemos obter o resultado para fora da mesma forma que obtemos para dentro.

A diferença será que colocaremos um superficie gaussiana maior do que R (o raio total do cilindro) e obteremos

$E=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0 }\,\frac{2\pi \rho R^2}{l r}$

onde R foi obtido no calculo do volume e r no calculo do campo.