Question

Cargas q, 2q e 3q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. Uma
outra carga Q é colocada no centro do triângulo. Todas as cargas possuem o mesmo sinal. Obtenha o vetor
força resultante sobre Q. Represente gracamente. (Sugestão: Posicione q e 3q ao longo da direção x, e 2q ao
longo de y)

Answer 1

O vetor força resultante sobre Q é de 9√3 q Q / 16πE0a²), horizontal, para a direita.

Vamos aos dados/resoluções:

O vetor força de repulsão Fe1 ocasionado por 2q possui direção paralela ao eixo das ordenadas e sentido para baixo, portanto, teremos de subtraí-la das componentes dos vetores forças de repulsão provenientes de 3q e q (Fe2 e Fe3, respectivamente) em y; enquanto as componentes em x de Fe2 e Fe3, por sua vez, terão de ser subtraídas entre si. Calculemos, inicialmente, Fe1:

Fe1 = 2kqQ/d²

Perceba que os vetores Fe2 e Fe3 formam um ângulo de 30º com o eixo das abscissas; assim:

sen30 = Fe2y/Fe2 ---> Fe2sen30 = Fe2y = 3kqQ/2d²

cos30 = Fe2x/Fe2 ---> Fe2cos30 = Fe2x = 3√(3)kqQ/2d²

sen30 = Fe3y/Fe3 ---> Fe3sen30 = Fe3y = kqQ/2d²

cos30 = Fe3x/Fe3 ---> Fe3cos30 = Fe3x = √(3)kqQ/2d

Então, se subtrair as componentes em y:

FeRy = Fe1 - Fe3y - Fe2y = (kqQ/d²)(2 - (3/2) - (1/2)) = 0

Como o resultado é nulo, FeRy é nulo.

Então, passamos às componentes em x:

FeRx = Fe2x - Fe3x = (kqQ/d²){[3√(3)/2] - [√(3)/2]} = √(3)kqQ/d²

Como o resultado é positivo, o sentido de FeRx - e, consequentemente, de FeR como um todo, já que FeRy é nulo - é para a direita.

É possível de certa forma, ainda, descobrir o valor de d; assim, ficamos apenas com valores conhecidos. Chamando de A, B, C e D os vértices em que se encontram, respectivamente, as cargas 3q, 2q, q e Q, trace o triângulo ADC. Como AD e DC (d) são bissetrizes (e, portanto, ângulos de 30º), o ângulo A^DC é igual a 120º. Por lei dos senos:

a/sen120º = d/sen30º

d = asen30º/sen120º = (a/2)/(√(3)/2) = a/√(3)

Então:

FeR = 3√(3)kqQ/a² = 3√(3)qQ/(4πe0a²)

Finalizando ;  

Módulo: 3√(3)qQ/(4πe0a²);

Direção: eixo das abscissas de um plano cartesiano xOy com origem em Q, ou seja, horizontal;

Sentido: leste, +x, ou seja, para a direita do plano.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)