Question

Campos eletricos de distribuições de cargas: Considere o caso de uma carga pontual q > 0 que esta sobre o eixo de simetria axial z de um anel de raio ρ uniformemente carregado com carga −Q.
Mostre que se a carga for solta no eixo de simetria com z << ρ ela executara um movimento harmonico simples e encontre a frequencia deste movimento

Answer 1

Resposta:

A demonstração segue abaixo, e o período do movimento harmônico simples é  P = $2*\pi/\sqrt{K*Q*q/m*p^3}$.

Explicação:

Vamos calcular a força exercida sobre a carga por um elemento de carga dQ localizado sobre o anel, usando a Lei de Coulomb:

dF = -K*q*dQ / (p^2+z^2)

O elemento de carga pode ser escrito como dQ = m * dω onde dω é um elemento de ângulo sobre o anel e m = Q/2π é a densidade angular da carga. Como a força independe do ângulo, podemos integrar sobre ele :

F = -K*q*m*2π/(p^2+z^2) = -K*q*Q/(p^2+z^2)

F = -K*q*Q/p^2*(1+(z/p)^2)

Como z<<p, podemos aproximar para:

F = -K*q*Q/p^2

Vamos obter a componente z da força, chamando de α o ângulo entre a força entre as cargas e o eixo x :

$F_z$ = -K*q*Q/p^2 * senα

Mas

senα = z/$\sqrt{p^2+z^2}$

Então,

$F_z$ = F*z/p / $\sqrt{1+(z/p)^2}$

Como z<<p,

$F_z$ = F * z/p

Então

m * z'' = - K*Q*q/p^2 * z/p = -K*Q*q/p^3 * z

ou

z'' = -K*Q*q/m*p^3 * z

Esta equação diferencial de 2ª ordem em z tem a solução:

z = C * sen$\sqrt{K*Q*q/m*p^3}$t + D

Este é um movimento harmônico simples, e o período é dado por

P = $2*\pi/\sqrt{K*Q*q/m*p^3}$