Question

Calculo

$\int\limits {ln(1-x)} \, dx$

Answer 1

Olá

$\displaystyle \mathsf{\int ln(1-x)dx}$

Para resolver essa integral temos que aplicar por partes...

$\boxed{\displaystyle \mathsf{\int udv=uv-\int vdu}}$


Mas antes de tudo, vamos fazer uma substituição inicial para facilitar nos nossos calculos.

$\displaystyle \mathsf{t=1-x}\\\\\mathsf{dt=-1dx }$

$\mathsf{\displaystyle -\int \cdot ln(t)dt}$


Pela regra do LIATE, temos que o logaritmo tem preferência na escolha do 'u'.

$\displaystyle \mathsf{u=ln(t)}\\\\\mathsf{du= \frac{1}{t} }$


Note que só temos o ln(t)... Então quem será o 'dv'?

Pense que, há o numero 1 na frente do dt

$\displaystyle\mathsf{\int ln(t)1dt}~~~~~ ~~~ ~\longleftarrow\text{Olha o 1 na frente do dt}$

Esse 1 será o nosso dv.

$\displaystyle \mathsf{dv=1dt}~~~~~~ ~~~ ~~~\mathsf{v=\int 1dt}~~~~ ~\rightarrow \boxed{\mathsf{v=t}}$


Agora vamos substituir na formula de integral por partes.

Para não ficar digitando a integral inicial toda hora, vamos substituir por 'I'.

$\displaystyle \mathsf{-\int \cdot ln(t)dt}~=~I$

$\displaystyle \mathsf{I=lnt(t) \cdot t~~~-\int t \cdot\frac{1}{t} dt}\\\\\\ \mathsf{I=lnt(t) \cdot t~~~-\int \diagup\!\!\!t \cdot\frac{1}{\diagup\!\!\!\!t} dt}\\\\\\ \mathsf{I=lnt(t) \cdot t~~~-\int 1 dt}\\\\\\ \mathsf{I=lnt(t) \cdot t~~~-t}$


Note que, nossa integral que chamamos de 'I', tem um sinal negativo, então vamos passar o sinal para o outro lado

$\displaystyle \mathsf{I=-(lnt(t) \cdot t-t)}\\\\\mathsf{I=-t\cdot ln(t)+t}$


Agora vamos voltar com (1-x) no lugar do 't'.

$\mathsf{t=1-x}\\\\\mathsf{I=-(1-x)\cdot ln(1-x)+(1-x)}\\\\\mathsf{I=-(1-x)\cdot ln(1-x)+ 1 - x+C}$


Veja que aquele 1 é desnecessário, já que a constante 'C' representa qualquer constante da função, então vamos elimina-lo.

$\boxed{\boxed{\mathsf{I=-(1-x)\cdot ln(1-x) - x+C}}}$




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