Question

Calculo

$\int\limits^2_0 \int\limits^1_{ \frac{y}{2} } {e^{x^2}} \, dx {} \, dy$

Answer 1

Calcular a integral dupla

     $\displaystyle\int_0^2\int_{y/2}^1e^{x^2}dx\,dy$


Analisando os limites, determinamos a região de integração:

     $D=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~0\le y\le 2\textrm{~~e~~}\frac{y}{2}\le x\le 1\right\}$


A variável  x  tem extremos não-constantes  (são duas funções de  y).

     x  varia da reta de equação  x = y/2  até a reta vertical  x = 1.


A região  D  é um triângulo com vértices nos pontos  (0, 0),  (1, 0),  (1, 2).  Veja figura em anexo.


Para podermos computar a integral, vamos expressar os extremos em  x  como constantes,  e  y  variando entre duas funções de  x.  Assim, a região  D  pode ser descrita como

     $D=\left\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~~0\le x\le 1\textrm{~~e~~}0\le y\le 2x\right\}$


Após reescrever a integral, aplicamos o Teorema de Fubini para integrais duplas:

        $\displaystyle\int_0^2\int_{y/2}^1 e^{x^2}dx\,dy\\\\\\ =\int_0^1\int_0^{2x} e^{x^2}dy\,dx\qquad\quad\textrm{(troca a ordem)}\\\\\\ =\int_0^1 e^{x^2}\int_0^{2x} dy\,dx\\\\\\ =\int_0^1 e^{x^2}\cdot y\Big|_{y=0}^{y=2x}\,dx\\\\\\ =\int_0^1 e^{x^2}\cdot (2x-0)\,dx\\\\\\ =\int_0^1 e^{x^2}\cdot 2x\,dx$


Faça uma substituição

     u = x²    ⇒    du = 2x dx


 e os novos limites de integração em  u:

      Quando  x = 0    ⇒    u = 0² = 0

      Quando  x = 1    ⇒    u = 1² = 1


Assim, a integral fica

     $\displaystyle=\int_0^1 e^u\,du\\\\\\ =e^u\Big|_0^1\\\\\\ =e^1-e^0$

     $=e-1$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)