Question

CALCULO

Suponha que uma pressão sonora provoque a vibração da membrana do tímpano de uma pessoa e que a velocidade v(t) de um ponto da membrana seja dada por $v(t) = 2e^{-t}sen(t)$


(a) Determine a integral indefinida da função v(t).


(b) Determine a posição s(t) do ponto da membrana supondo que s(0) = 0.


(c) Determine o comportamento de s(t) após um longo período de tempo, isto é, $\lim_{t \to \infty} s(t)$

Answer 1

Resposta:

a) $\displaystyle \int v(t) \,dt=-e^{-t}\cdot(sen(t)+cos(t))+c$

b) $s(t)=1-e^{-t}\cdot[cos(t)+sen(t)]$

c) $\displaystyle \lim_{t \to\infty} s(t)=1$

Explicação passo-a-passo:

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• Essa tarefa é sobre ondulatória.

• As ondas são um tipo de movimento periódico (repetitivo) onde há transporte de energia sem necessariamente haver transporte de matéria.

• Exemplos de ondas em nosso dia a dia são o som e a luz.

Sem mais delongas, vamos a solução!

Solução:

a)

A integral indefinida da função é dada por:

$\displaystyle \int v(t)\,dt=\int 2e^{-t}sen(t)\, dt$

Vou resolver essa integral pelo método DI (derivação-integração):

$\begin{tabular}{cc|c} &D&I\\\cline{2-3} +&2e^{-t}\,\searrow&sen(t)\\-&-2e^{-t}\searrow&-cos(t)}\\+&2e^{-t}\searrow&-sen(t)}\\-&...&...\end{tabular}$

Para esse método, o valor da integral é igual ao produto cruzado das diagonais. Observe que na última linha temos exatamente os termos que compõem a integral. Neste ponto devemos parar e escrever o resultado da seguinte forma:

$\displaystyle \int 2e^{-t}sen(t)\, dt=-2e^{-t}cos(t)-2e^{-t}sen(t)-\int 2e^{-t}sen(t)\,dt$

Veja que o último termo obtido por esse método é exatamente a integral original com o sinal trocado. Logo, podemos fazer:

$\displaystyle 2\cdot \bigg (\int 2e^{-t}sen(t)\, dt\bigg)=-2e^{-t}cos(t)-2e^{-t}sen(t)$

ou seja:

$\displaystyle \int 2e^{-t}sen(t)\, dt=-e^{-t}cos(t)-e^{-t}sen(t)+c$

Coletando termos do lado direito e simplificando, obtemos:

$\therefore \boxed{\displaystyle \int 2e^{-t}sen(t)\, dt=-e^{-t}\cdot(sen(t)+cos(t))+c}$

b)

A função da posição s(t) é exatamente o valor da integral indefinida calculada no item anterior, isto é:

$s(t)=\displaystyle \int v(t)\, dt$

$s(t)=-e^{-t}\cdot[cos(t)+sen(t)]+c}$

Para determinar a constante c, basta fazer t = 0 na equação acima:

$s(0)=-e^{-0}\cdot[cos(0)+sen(0)]+c}$

$0=-1\cdot[1+0]+c}$

$\therefore c=1$

Portanto a função da posição s(t) do ponto da membrana é:

$\boxed{s(t)=1-e^{-t}\cdot[cos(t)+sen(t)]}$

c)

Para $t \rightarrow +\infty$ , o termo da exponencial determina o comportamento de s(t). De fato, temos que $e^{-t}\rightarrow0$ quando $t \rightarrow +\infty$, o que significa que todo o segundo termo da função se anula. Logo:

$\displaystyle \lim_{t \to\infty} s(t)=1-0$

$\therefore \boxed{\displaystyle \lim_{t \to\infty} s(t)=1}$

Bons estudos!

Equipe Brainly