Question

Calculo pela definição de limites,

Dada a função f= 1/x² encontre f'(2)


a resposta é F'(2)=-$\frac{1}{4}$


Preciso aprender a desenvolver o exercício

Answer 1

O valor da derivada no ponto é

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'(2) = \lim_{x\to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} = -\frac{1}{4}\\ \\\end{gathered}$

Partindo da definição de derivada no ponto

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'(p) = \lim_{x \to p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}\end{gathered}$

Em nosso caso temos que p = 2 e f(x) = 1/x², logo

                                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2^2}}{x-2}\\ \\f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}{x-2}\\ \\\end{gathered} }$

Colocando o denominador comum no numerador obtemos

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{4-x^2}{4x^2}}{x-2}\end{gathered} }$

Podemos ainda escrever como

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}f'(2) = \lim_{x \to 2}-\frac{x^2-4}{4x^2(x-2)}\end{gathered}$

Utilizando o produto notável no numerador

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\end{gathered}$

Logo

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}f'(2) = \lim_{x \to 2} -\frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{4x^2\cancel{(x-2)}} \\ \\f'(2) = \lim_{x \to 2} -\frac{(x+2)}{4x^2}\end{gathered} }$

Agora basta passar o limite

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}f'(2) = \lim_{x \to 2} -\frac{(x+2)}{4x^2}\\ \\f'(2) = -\frac{(2+2)}{4\cdot(2)^2}\\ \\\boxed{f'(2) = -\frac{1}{4}}\\ \\\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/49172303 - Limites

Answer 2

Resposta

O valor dessa derivada é $\boxed{\sf \boxed{\sf f'(2)=-\frac{1}{4}}}$

Resolução

Para resolver essa questão pela definição de limites nós usaremos a fórmula $\boxed{\sf f'(P)= lim_{x \to p} \dfrac{f(x)-f(p)}{x-p} }$, para encontramos o valor de f(2) nós temos que substituir os valores da função para dentro do limite.

• Valor de f(x) > $\sf \dfrac{1}{x^2}$

• Valor de f(p) > $\sf 2^2$

• Valor de x-p > $\sf x-2$

• O valor tende a 2

Agora podemos montar o limite e resolve-lo:

Resolvendo

$\sf f\:'\left(2\right)=lim _{x\to 2}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{2^2}}{x-2}\\\\\\\sf \:f'\left(2\right)lim _{x\to \:2}=\dfrac{\dfrac{4-x^2}{4x^2}}{x-2}\\\\\\\sf f\:'\left(2\right)= lim _{x\to \:2}=\dfrac{4-x^2}{4x^2\left(x-2\right)}\\\\\\\sf f\:'\left(2\right)=lim _{x\to \:2}\left-\dfrac{x+2}{4x^2}\right\\\\\\\sf f\:'\left(2\right)=lim_{x\to2}=-\dfrac{2+2}{4\cdot \:2^2}\\\\\\\sf f'(2)=lim_{x\to2}=\boxed{\sf-\frac{1}{4}}$

Nós também podemos resolver essa questão de uma segunda forma que é achando a derivada, para isso primeiramente nós teremos que encontrar a derivada da nossa primeira função $\sf \:f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}$ onde encontraremos o resultado $\sf -\dfrac{2}{x^3}$, depois basta pegar esse resultado e passar para o valor para f(2). Veja;

Resolvendo

Como já foi falado no começo primeiramente nós temos que encontrar o valor da derivada de  $\sf \:f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}$

• Teremos que encontrar a derivada da nossa primeira função $\sf \:f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}$

$\sf \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\\\\\\\sf \left(x^{-2}\right)\dfrac{d}{dx}\\\\\\\sf -2x^{-2-1}\\\\\\\boxed{\sf -\frac{2}{x^3}}~Valor~da ~derivada~de ~f(x)=\dfrac{1}{x^2}$

• Agora vem a parte fácil onde precisamos pegar $\sf -\dfrac{2}{x^3}$ e passar para o valor para f(2)

$\sf f'(2)-\dfrac{2}{x^3}\:para\:x=2\\\\\\\sf f'(2)-\dfrac{2}{2^3}\\\\\\\boxed{\sf \boxed{\sf f'(2)=-\frac{1}{4}}}$

Veja mais

• brainly.com.br/tarefa/49172303