Question

Cálculo III cálculo de integral em relação ao gráfico, questão em anexo. 20PTS

Answer 1

Para calcular uma integral de linha de um campo vetorial, a curva deve estar orientada.

Dado que os pontos que descrevem a curva $C$ foram dados na seguinte ordem:

$(0,\,0),\,(1,\,0)~\text{ e }~(0,\,2).$

concluímos que a curva é percorrida no sentido anti-horário. Logo, $C$ é uma curva fechada orientada positivamente.

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Queremos calcular a integral sobre $C$ do seguinte campo vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=(3x^2+y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+4y^2\overrightarrow{\mathbf{j}}$


onde as componentes $P$ e $Q$ do campo são as seguintes funções:

$\left\{ \!\begin{array}{l}P(x,\,y)=3x^2+y\\\\ Q(x,\,y)=4y^2 \end{array} \right.$


Poderíamos parametrizar a curva $C$ (união de três segmentos de reta) e calcular a integral sobre a curva parametrizada.

Porém, como a curva $C$ é fechada e está orientada positivamente, podemos usar o Teorema de Green:
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O campo está definido em todos os pontos de $C,$ e as derivadas parciais das componentes $P$ e $Q$ são contínuas no interior de $C.$

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Pelo Teorema de Green, temos então que

$\displaystyle\oint_C\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}\\\\\\ =\oint_CP(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=\iint_{\mathrm{int}(C)}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )d\mathbf{A}~~~~~~\mathbf{(i)}$

sendo $\mathrm{int}(C)$ a região do plano contida no interior da curva $C.$

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$\bullet~~\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(4y^2)=0\\\\\\ \bullet~~\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2+y)=1$


Portanto,

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=0-1\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-1$

(opa, é uma função constante de $x$ e $y$ )


Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$\displaystyle\oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=\iint_{\mathrm{int}(C)}(-1)\,d\mathbf{A}\\\\\\ =-1\cdot\iint_{\mathrm{int}(C)} d\mathbf{A}$


Mas a última integral acima nos fornece a área do triângulo formado pelos três pontos:

$\displaystyle\oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=(-1)\cdot \mathrm{\'Area}(\triangle)\\\\\\ \oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=(-1)\cdot \dfrac{1\cdot 2}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=-1 \end{array}}$


Resposta: alternativa a.