Question

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

A solução do modelo de crescimento de Harrod-Domar descreve a trajetória do produto de uma economia através da equação diferencial


VEJA A FIGURA ABAIXO


​em que Y é o produto, t, o tempo, s, a propensão marginal a poupar, e v, a relação incremental capital-produto. Sendo Y0 o valor inicial do produto e assumindo que s e v são constantes. A solução dessa equação é

Answer 1

A solução dessa equação diferencial ordinária que descreve o crescimento do modelo de Harrod-Domar é

$Y(t)=Y_0\,e^{\frac{s}{v}t}$

Equação diferencial de 1ª ordem separável

Uma equação diferencial ordinária (EDO) de 1ª ordem separável é caracterizada pela independência das variáveis em cada lado da equação. Considere uma EDO do seguinte tipo

$f(x)\frac{dy}{dx}+g(y)=0$

Essa EDO é separável, pois podemos separar as funções que contém x e y, deixando-as independentes

$\frac{dy}{g(y)}=-\frac{dx}{f(x)}$

Restando somente integrar os dois lados.

Aplicando ao problema em questão, temos que

$\frac{dY}{dt}=\frac{s}{v}Y\\\frac{dY}{Y}=\frac{s}{v}dt$

Como s, v são constantes, então é só integrar, já que as variáveis estão independentes.

$\int \frac{dY}{Y}=\frac{s}{v}\int dt\\\ln|{Y(t)}|=\frac{s}{v}t+C$

Para encontrar Y(t), basta exponenciar os dois lados. Pois a exponencial de um logaritmo, é o próprio argumento. Assim:

$e^{\ln{Y(t)}}=e^{\frac{s}{v}t+C}\\Y(t)=e^{C}e^{\frac{s}{v}}$

Como e^C é uma constante, então podemos renomeá-la apenas por A

$Y(t)=Ae^{\frac{s}{v}t}$.

Foi dada a condição inicial que em t=0, temos que o valor inicial do produto Y0. Portanto, na solução geral encontrada acima basta substituir t=0 e encontrar o valor de A

$Y_0=Ae^{0}\\A=Y_0$

Assim, encontramos a solução particular do problema que descreve o modelo de crescimento de Harrod-Domar

$Y(t)=Y_0e^{\frac{s}{v}t}$

Para saber mais sobre EDOs de 1ª ordem, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/5056202

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