Matemática, perguntado por golbe, 4 meses atrás

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III (2037)
Calcule, usando o Teorema de Gauss, o fluxo de....segue em anexo....

Anexos:

golbe: Obrigado!

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que faremos, podemos concluir que o valor do fluxo desse campo vetorial é igual a 99. E para chegar a essa conclusão tivemos que usar o teorema da divergência de Gauss.

$\boxed{\boxed{\quad \displaystyle\Phi =\iint _ S F \cdot n ~dS =\iiint _ G \vec\nabla\cdot \vec F~ dV \quad}}$

Esta fórmula afirma que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência sobre a região dentro da superfície.

Levando em conta este teorema podemos encontrar a solução do nosso problema.

O problema diz que usamos o teorema da divergência de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial definido como $\sf F(x,y,z) = x^2 \vec i + y ^3 \vec j + yz \vec k$ através da fronteira do paralelepípedo G definido pelos limites:

$\begin{cases}\sf 0\leqslant x \leqslant 2\\ \sf-1 \leqslant y \leqslant 2\\ \sf 1 \leqslant z \leqslant 4 \end{cases}$

E também devemos levar em conta a integral tripla que nos ajudará nos cálculos finais, esta integral é definida como:

$\displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\int ^2 _{-1} \int ^2 _0 div ~F dx dy dz$

Vemos que esta integral é a mesma encontrada no teorema da divergência de Gauss só que esta integral já está definida em seus limites de integração, se verificarmos que os limites de integração onde esta integral é definida são os mesmos limites da fronteira onde o paralelepípedo é definido.

Como essa integral já está mais ou menos completa, podemos prosseguir para calcular o divergente do nosso campo vetorial. Para isso usaremos a expressão:

$\sf div F(x,y,z) = \dfrac{\partial}{\partial x} \vec i +\dfrac{\partial}{\partial y} \vec j +\dfrac{\partial}{\partial z}\vec k$

Se quisermos usar esta fórmula corretamente devemos substituir a variável que está multiplicando o vetor unitário (quero dizer i, j e k), se substituirmos cada variável em sua respectiva posição obtemos a equação:

$\sf div~ F(x,y,z) = \dfrac{\partial (x^2)}{\partial x} \vec i +\dfrac{\partial (y^3)}{\partial y} \vec j +\dfrac{\partial(y z)}{\partial z}\vec k$

Calculando cada derivada parcial obtemos que o divergente do nosso campo vetorial é igual a:

$\sf div ~F(x,y,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} 2 x^{2-1} \vec i +\dfrac{\partial }{\partial y} 3y^{3-1}\vec j +y\dfrac{\partial}{\partial z} z^{1-1}\vec k\\\\\\\\ \sf div ~F(x,y,z) = 2 x \vec i + 3y^{2}\vec j +yz^{0}\vec k\\\\\\\\ \sf div ~F(x,y,z) = 2x \vec i+3 y^2 \vec j + y \cdot 1 \vec k\\\\\\\\ \sf div ~F(x,y,z) = 2x \vec i + 3 y^2 \vec j + y \vec k$

Como já encontramos o divergente do nosso campo vetorial, agora se pudermos encontrar o seu fluxo, para isso substituímos o valor que obtemos do nosso divergente na nossa integral que já está definida.

Fazendo a substituição temos:

$\displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\int ^2 _{-1} \int ^2 _0 (2 x + 3 y ^2 + y ) dx dy dz$

Para resolver essas integrais usamos o teorema de Fubini, o teorema de Fubini fornece uma técnica para calcular integrais de funções de várias variáveis calculando várias integrais de funções de uma variável.

$\displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\int ^2 _{-1} \left(\int ^2 _0 (2 x + 3 y ^2 + y ) dx\right) dy dz\\\\\\\\\displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\int ^2 _{-1} \left(\int ^2 _0 2 x dx + \int^2 _ 0 3 y ^2 dx +\int ^2 _0 y dx\right) dy dz\\\\\\\\ \displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\int ^2 _{-1} \left(\dfrac{\not\!\!2x^{2}}{\not\!\!2}+ x y ^2 + x y\right)^2 _0dy dz \\\\\\\\\ \displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\left(\int ^2 _{-1} 4+ 6 y ^2 + 2 y dy \right) dz \\\\\\\\\displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\left(\int ^2 _{-1} 4 dy+ \int ^2 _{-1} 6 y^2 dy+\int ^2 _{-1} 2 y dy \right) dz\\\\\\\ \sf \displaystyle \sf \Phi = \int^4 _ 1\left(4 y+ \dfrac{\not\!\!6y^3}{\not\!\!3} + \dfrac{\not\!\!2 y^2}{\not\!\!2} \right)^2 _{-1} dz \\\\\\\\ \displaystyle \sf \Phi= \int^4 _ 1\left(33 \right)dz\\\\\\\\ \sf \Phi = \left(33 z\vphantom{\dfrac{}{}}\right) ^4 _ 1 dz\\\\\\\\ \sf \Phi = \left(33 \cdot 4 - 33 \cdot 1\right) \\\\\\\\ \sf \Phi = \left(132- 33\right)\\\\\\\\ \boxed{\boxed{\sf \Phi =99}}\sf \Longrightarrow Resposta \checkmark$