Question

Cálculo diferencial e integral a uma variável cule o limite lim y -> [infinity] ((2 - 3y ^ 2)/(5y ^ 2 4y)) da - 3/5 ob 2/5 c 3/5.

Answer 1

Encontrar um limite significa encontrar um valor do qual a função se aproxima. Analisando a função do exercício, percebemos que, ao substituir y por infinito, teremos uma indeterminação do tipo ∞/∞.

Para resolvê-la precisaremos manipular os termos do numerador e denominador. O limite dessa função quando y tende ao infinito é -3/5.

Precisamos encontrar o     $\lim_{y \to \infty} \left(\dfrac{2-3y^{2} }{5y^{2} +4y} \right)$   , e substituindo  y = ∞ , temos:

$\lim_{y \to \infty} \left(\dfrac{2- \infty }{ \infty + \infty} \right)=-\dfrac{ \infty}{ \infty}$  , o que é indeterminação.

Vamos então dividir o numerador e denominador por y², pois assim estaremos reescrevendo a função com coeficientes no numerador que tenderão a zero.

Reescrevendo a função:

$\dfrac{ y^{2}\cdot \left(\dfrac{2}{y^{2} } -3\right)}{y^{2} \cdot\left(5 +\dfrac{4}{y} \right)}~~~~e ~~simplificando~~por~~y^{2},~~temos:\\ \\ \\ \\ \\ \lim_{y \to \infty} ~~\dfrac{ \left(\dfrac{2}{y^{2} } -3\right)}{\left(5 +\dfrac{4}{y} \right)}~~~\to ~~~\dfrac{ \left(\dfrac{2}{\infty} -3\right)}{\left(5 +\dfrac{4}{\infty} \right)}~~~\to ~~~\dfrac{0-3}{5+0} ~~~\to ~~~-\dfrac{3}{5}$

Portanto:

$\boxed{\lim_{y \to \infty} ~~ \left(\dfrac{2-3y^{2} }{5y^{2} +4y} \right)~~=~~- \dfrac{3}{5}}$

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