Question

Calculo de Limite
alguem consegue fazer o PRIMEIRO exercicio???

Answer 1

O valor do limite é

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned} }$

Para calcular esse limite temos que lembrar de um produto notável, mais conhecido como diferença de quadrados, o produto notável é definido como:

                               $\Large\displaystyle\begin{aligned}a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\end{aligned}$

Portanto, dado nosso limite:

                                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1}\end{aligned} }$

Temos uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos aplicar o produto notável no numerador, onde:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}a &= \sqrt{2x}\\ \\b &= \sqrt{x+1}\end{aligned}$

Aplicando temos:

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1}\cdot \dfrac{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{(\sqrt{2x})^2-(\sqrt{x+1})^2}{(x-1)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+1})}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{2x-x-1}{(x-1)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+1})}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+1})}\\ \\\end{aligned} }$

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt{2x}+\sqrt{x+1})}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{\sqrt{2x}+\sqrt{x+1}}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+1}}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}\\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\end{aligned} }$

                       

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2}}{4}\\ \\\end{aligned} }$

                               

Logo, o valor do limite é:

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned} }$

Podemos resolver por L'Hôpital neste caso também, a regra se L'Hôpital só é valida para indeterminações em 0/0 e ±∞/±∞, com f(x) e g(x) diferenciaveis:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to a} = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\frac{d}{dx}f(x)}{\frac{d}{dx}g(x)} = L, \quad \frac{d}{dx}g(x) \ne 0\end{aligned} }$

Dito isso, vamos lembrar das regras de derivação

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\frac{d}{dx}f(g(x)) &= g'(x)f'(g(x))\\ \\f(x) = ax^n &\rightarrow \frac{d}{dx}f(x) = anx^{n-1}\end{aligned}$

Então vamos calcular as derivadas

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}f(x) &= \sqrt{2x} - \sqrt{x+1}\\ \\\frac{d}{dx}f(x) &= \dfrac{1}{\sqrt{2x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\\ \\ \\g(x) &= x-1\\ \\ \frac{d}{dx} g(x) &= 1 \end{aligned} }$

Aplicando a regra temos então:

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{\sqrt{2x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{2\sqrt{1+1}} \\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{1}{\sqrt{2}} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\ \\\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned} }$

Podemos verificar novamente que

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lim_{x \to 1} \ & \dfrac{\sqrt{2x}-\sqrt{x+1}}{x-1} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned} }$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Veja mais sobre em:

Limites trigonométricos - brainly.com.br/tarefa/39861058

Limites de funções polinômiais - brainly.com.br/tarefa/39405951