Question

(CÁLCULO) Calcule a seguinte integral:

$\int\limits { \frac{5 x^{2} - 3x+2}{x^3 - x^{2} } } \, dx$

#Use integração por frações parciais.

Answer 1

Olá Niselinz.



Organizando a integral.


$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{5x^2-3x+2}{x^3-x^2}~dx=\int \dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx}$

Como no denominador temos um polinômio de grau 3 e conseguimos fatorar esse polinômio deixando-o irredutivel, então podemos escrever aquela fração de polinômio como a soma de 3 frações.

Podemos considerar então a existência de 3 constantes A, B e C tais que:

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x + 2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}}$

Desenvolvendo.

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{A\cdot x(x-1)+B\cdot(x-1)+C\cdot x^2}{x^2\cdot(x-1)}}$

A ideia agora é colocar o monômio de grau 2 e de grau 1 em evidência em termos das contantes A, B e C.

$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{x^2\cdot(A+C)-x\cdot(A-B)-B}{x^2\cdot(x-1)}}$

Comparando termo a termo teremos o seguinte sistema.

$\mathsf{\begin{cases}\mathsf{A+C=5}\\\\\mathsf{A-B=3}\\\\\mathsf{-B=2}\end{cases}~~\Rightarrow~~B=-2~~~e~~~A=1~~~e~~~C=4}$


Logo, nossa expressão ficará no seguinte formato:


$\mathsf{\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{4}{x-1}}$

Substituindo na nossa integral.

$\mathsf{\displaystyle\int \dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx=\int\Big[\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{4}{x-1}\Big]~dx}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx=\ell n(x)-2\cdot \dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+4\cdot \ell n(x-1)+C}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{5x^2-3x+2}{x^2\cdot(x-1)}~dx=\ell n(x)+4\ell n(x-1)+\dfrac{2}{x}+C}$


Dúvidas? comente.

Answer 2

Fatorando a integral: 

∫ 5x² - 3.x + 2. dx    =>  5x² - 3.x + 2
        x³ - x²                       x².(x-1)

Fração por binômio:                         
- Na fração  sempre será   x , x² , x³ (...) (x-1), (x-2)
                                                            I
                         Enquanto tiver a sobra, se acabou, começa (x-1)...

 ∫ 5.x² - 3.x + 2.dx => A1 + A2 +  A3    .... An  
        x³ - x²                  x       x²    (x-1)      (x-n)
∫ 5.x² - 3.x + 2  dx  =>  A1.x².(x-1) + A2.(x-1) + A3.x²    
      x³ - x²                                   x².(x-1)

- Fatorando novamente:
∫ 5.x² - 3.x + 2 dx   =>  (A1 + A3 ).x² + (A1 - A2).x - A2 
      x³ - x²                                     x².(x-1)

  Lembrando que no numerador é uma Equação de 2°Grau, ou seja:
                             - Lei de Formação do 2°Grau:
                                  F(x) = a.x² + b.x + c
                                                I        I       I
 - Sabendo disto, possui      (x²) + (b.x) +c = 3 termos. Então, temos:
              - Equação 2°Grau  5.x² - 3.x   + 2
              - Forma Fatorada (A1+A3).x² - (A1 -  A2).x - A2
                             
- Igualando com o termo da equação de 2°grau. Onde binômio = a,b,c , temos:

A1 + A3 = 5  => 1 + A3 = 5 => A3 = 4
A1 - A2 = 3   => A1 - (-2) = 3 => A1 = 1
- A2 = 2 => A2 = -2

- Aplicando valores, teremos:
      ∫ 5.x² - 3.x + 2.dx =    A1 +   A 2 +    A 3
             x³ - x²                  x         x²      (x-1)

      ∫ 5.x² - 3.x + 2.dx = [  1  - 2  +    4  ].dx
             x³ - x²                  x     x²    (x-1)
       
       ∫ 5.x² - 3.x + 2. dx = ln(x) + 4.ln(x-1) + 2 + C
             x³ - x²                                              x