Question

Calculo 4- Resolva

x'' -x= t.e^2t

Answer 1

$x''-x=t\cdot e^{2t}$

É uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear e não-homogênea.

_________

A EDO homogênea correspondente é

$x''-x=0$


cuja equação característica é

$\lambda^2-1=0$


encontrado as raízes dessa equação:

$\lambda^2=\pm \sqrt{1}\\\\ \lambda^2=\pm 1\\\\ \begin{array}{rcl} \lambda=-1&~\text{ ou }~&\lambda=1 \end{array}$


As raízes da equação característica são distintas

$\begin{array}{rcl} \lambda_1=-1&~\text{ e }~&\lambda_2=1 \end{array}$


Base geradora da solução da equação homogênea:

$\left\{e^{\lambda_1 t},\,e^{\lambda_2 t}\right\}\\\\ \left\{e^{-t},\,e^t\right\}$


de modo que a solução da EDO homogênea é

$x_h(t)=C_1e^{-t}+C_2e^t$

___________

• Agora, temos de encontrar uma solução particular para a EDO dada.

$x_p=(At+B)e^{2t}$


Derivando em relação a $t:$

$x_p'=\big[(At+B)e^{2t}\big]'\\\\ x_p'=Ae^{2t}+(At+B)\cdot 2e^{2t}\\\\ x_p'=Ae^{2t}+(2At+2B)\cdot e^{2t}\\\\ x_p'=(2At+A+2B)\cdot e^{2t}$


Derivando novamente em relação a $t,$

$x_p''=\big[(2At+A+2B)\cdot e^{2t}\big]'\\\\ x_p''=2A\cdot e^{2t}+(2At+A+2B)\cdot 2e^{2t}\\\\ x_p''=2A\cdot e^{2t}+(4At+2A+4B)\cdot e^{2t}\\\\ x_p''=(4At+4A+4B)\cdot e^{2t}$

__________

Substituindo a solução particular e suas derivadas na EDO inicial, temos

$x_p''-x_p=t\cdot e^{2t}\\\\ (4At+4A+4B)e^{2t}-(At+B)e^{2t}=t\cdot e^{2t}\\\\ \big[(4At+4A+4B)-(At+B)\big]\cdot e^{2t}=t\cdot e^{2t}\\\\ 4At+4A+4B-At-B=t\\\\ 3At+4A+3B=t$


Por identidade polinomial, devemos ter

$\left\{ \!\begin{array}{l} 3A=1\\\\ 4A+3B=0 \end{array} \right.$


Resolvendo o sistema, encontramos

$A=\dfrac{1}{3}~\text{ e }~B=-\,\dfrac{4}{9}$


A solução particular é

$x_p(t)=\left(\dfrac{1}{3}\,t-\,\dfrac{4}{9}\right)\!e^{2t}$

___________

Solução geral:

$x(t)=x_h(t)+x_p(t)\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^t+\left(\dfrac{1}{3}\,t-\,\dfrac{4}{9}\right)\!e^{2t} \end{array}}$


com $C_1,\,C_2\in\mathbb{R}.$


Bons estudos! :-)