Question

Calculo 3 matematica de ensino superior


(x^2 - y^2)ds, onde C e o circulo com centro na origem (0; 0) e raio 5.

Answer 1

C: { x²+y² = √5    

x(t) = rcos(t) ⇒ 5.cos(t)

y(t) = rSen(t) ⇒ 5.sen(t)

com 0 ≤ t ≤ 2π
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Sabemos que,

ds = ||r(t)'||dt

Onde,

r(t) = x(t)i + y(t)j

r(t) = 5.cos(t)i + 5.Sen(t)j

Logo,

r(t)' = d(x(t))/dt i + d(y(t))/dt j

r(t)' = -5.sen(t)i + 5.Cos(t)j

Então,

||r(t)'|| = √[x(t)']² +[y(t)']²

|r(t)'|| = √(-5.sen(t))²+(5.cos(t))²

||r(t)'|| = √(25sen²t+25cos²t)

||r(t)'|| = √25(sen²t+cos²t)

||r(t)'|| = 5
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Logo,

∫ Fds = ∫ F(x(t),y(t)).||r(t)'||dt
c          c

$\\ \\ \\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \,[ ( 5 cost)^2-( 5sent)^2]. 5dt \\ \\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \,( 25 cos^2t- 25sen^2t). 5dt \\ \\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \,25( cos^2t- sen^2t). 5dt \\ \\ = 125 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, (cos^2t- sen^2t). dt$

Lembrando que:

cos²t-sen²t = cos(2t)

teremos:

$\\ = 125\int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \,(cos(2t)). dt$

E sabemos que,

∫ cos(nx)dx = sen(nx)/n

Então,

∫ cos(2t)dt = sen(2t)/2

logo,

$\\ = 125 ( \frac{Sen(2t)}{2} )|(0,2 \pi ) \\ \\ = 125( \frac{Sen(4 \pi )}{2} - \frac{Sen(0)}{2} ) \\ \\ = 0$