Question

(CÁLCULO 2) Veja que f: R³ ----> R e que a função f (x, y, z) = x³ $\sqrt{ y^{2} + z^{2} }$

Mostrar que f (x, y, z) é diferenciável no ponto (2, 3, 4).

Answer 1

Olá, Nise.

A rigor, uma prova de que uma função é diferenciável pede que resolvamos um limite complicado de três variáveis. Porém, se provar que um limite existe pode ser complicado mesmo no cálculo com uma variável, se estendermos para 3 variáveis, sem sequer termos uma ferramenta como a regra de L'Hospital, a prova desse limite pediria teoremas obscuros e identidades insólitas.

Vamos usar outro modo, igualmente correto e diversas vezes mais simples. Existe uma Condição suficiente para a diferenciabilidade. Que diz que:

Se uma função de n variáveis admite todas as suas derivadas parciais contínuas em uma n-bola aberta, então f será diferenciável.

Veja que esse teorema é bem forte, e vamos ver se podemos aplicá-lo:

$f(x,y,z)=x^3\sqrt{y^2+z^2}\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = 3x^2\sqrt{y^2+z^2}\\ \\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = \dfrac{2x^3y}{2\sqrt{y^2 +z^2 }} = \dfrac{x^3y}{\sqrt{y^2+z^2}}\\ \\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = \dfrac{2zx^3}{2\sqrt{y^2+z^2}} = \dfrac{x^3z}{\sqrt{y^2+z^2}}$

Bingo! Veja que todas as funções parciais são contínuas em alguma 3-bola aberta. Vemos isso facilmente porque o limite quando fazemos (x,y,z) → (2, 3, 4) é justamente o valor da função derivada parcial de qualquer coordenada nesse ponto. 

Como todas as derivadas parciais são contínuas em alguma 3-bola aberta centrada em (2, 3, 4), temos que f(x,y,z) é diferenciável em (2, 3, 4)