Question

(CÁLCULO 2) Determinar o limite - caso exista - ou mostre se não existir.

lim (x,y) ----> (0,0) (VER FOTO)

Answer 1

Olá, Nise.

Vamos fazer a composta dessa função com duas curvas convenientes, para analisar uma eventual inexistência de limite. Podemos fazer isso pois o limite da composta é o mesmo da função original, se a composta possuir imagem no ponto que observamos o limite.

Parte 1:

$\gamma_1(t) = (0,t)$

Veja que $\gamma_1(0) =(0,0)$ , então o limite quando o par (x,y) → (0,0) pode ser analisado como o limite de quando t→0.

Assim:

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{2x^2+xy+2y^2}{x^2+y^2}} = \lim_{t\to 0}\dfrac{2(0)^2 + (0)t+2t^2}{0^2+t^2} = \lim_{t\to0}\dfrac{2t^2}{t^2} = 2$

Então, para essa curva, o limite é 2. Vamos analisar para $\gamma_2(t) = (t,t)$ , que tende para (0,0) quando t → 0;

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{2x^2+xy+2y^2}{x^2+y^2}=\lim_{t\to0} \dfrac{2t^2+t^2+2t^2}{2t^2} = \lim_{t\to0} \dfrac{5t^2}{2t^2} = \frac52$

O limite pela primeira curva tende a 2, o pela segunda tende a 5/2. Como esses limites são diferentes, temos que o limite não existe.