Question

Cálculo 1 , socorro !!!!!!​

Answer 1

Temos primeiro que mencionar as condições de continuidade de uma função:

$1) \: f(x) \to definida \\ \\ 2)\lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to a^{-}}f(x) \\ \\ 3)\lim_{x\to a}f(x) =f(x)$

Essas são os 3 requisitos para uma função ser continua em um certo x.

Pergunta 1)

• Item a):

$a) f(x) = \begin{cases}x - 1, \: se \geqslant 0 \\ - x + 1, \: se \: x < 0 \end{cases}$

• Primeira condição:

Vamos verificar a primeira condição:

$f(x) = x-1\\f(0)=0-1\\f(0)=-1 \to ok$

A função é definida, o sinal de = do sinal ≥ indica que ela é igual a 0. Então a primeira está ok.

• Segunda condição:

$\lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^{-}}f(x)$

Quando x tende a 0 pela direta (0+), temos então x se aproximando por valores maiores que "0", logo devemos usar a função (x - 1), já que ela representa valores maiores que 0. Já quando x tende a 0 pela esquerda (0-), temos então x se aproximando por valores menores que "0", logo devemos usar a função (-x + 1). Substituindo essas informações obtidas:

$\lim_{x\to a^+}x - 1= \lim_{x\to a^{-}} - x + 1 \\ 0 - 1 = 0 + 1 \\ 1 \ne - 1$

Como não tivemos a igualdade dos limites laterais, então já podemos dizer que essa função não é continua quando x = 0.

Pergunta 2)

$b) f(x) = \begin{cases}x {}^{2} + 1, \: se \: x \leqslant 0 \\ x + 1, \: se \: x > 0\end{cases}$

Fazendo os mesmos cálculos, temos que:

$f(x) = x^2+1\\f(0)=0^2+1\\f(0)=1 \to ok \\ \\ \lim_{x\to 0^+}x + 1 = \lim_{x\to ^{-}}x {}^{2} + 1 \\ 0 + 1 = 0 {}^{2} + 1 \\ 1 = 1$

Opa, nesse item a segunda restrição foi cumprida, agora tem-se que ver a última:

$\lim_{x\to 0}f(x) = f(x) \\ 1 = 1$

Portanto podemos concluir que essa função é contínua em x = 0