Question

CÁLCULO 1
Resolva o problema seguinte usando máximos e mínimos.

08) Um campo retangular à margem de um rio devem ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de 12,00 reais por metro linear no lado paralelo ao rio e de 8,00 reais por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com um gaste de 3.600,00 reais de material.

Answer 1

Boa tarde!

Se chamarmos de y o tamanho paralelo ao comprimento do rio e de x o tamanho perpendicular a este, teremos:
Comprimento de material = y+2x
$A(x,y)=xy$

$C(x,y)=12y+8(2x)=3600\\ 12y+16x=3600\\ 3y+4x=900\\ y=\frac{900-4x}{3}$

Agora calculando a área:
$A(x)=x\frac{900-4x}{3}\\ A(x)=\frac{900x-4x^2}{3}\\ A'(x)=\frac{900-8x}{3}\\ A'(x)=0\\ \frac{900-8x}{3}=0\\ 900-8x=0\\ 8x=900\\ x=\frac{900}{8}=112,5$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo:
$A''(x)=\frac{-8x}{3}\\ A''(112,5)=\frac{-8(112,5)}{3}=\frac{-900}{3}=-300$
Valor negativo, ponto de MÁXIMO!

Então:
$y=\frac{900-4x}{3}=\frac{900-4(112,5)}{3}=\frac{450}{3}=150$

Então, teremos uma cerca com 150m de comprimento paralela ao rio e 112,5m perpendicular às margens do mesmo.

Espero ter ajudado!