Question

CÁLCULO 1
Resolva o problema seguinte usando máximos e mínimos.

02) Deseja-se construir uma caixa sem tampa, com uma chapa metálica, de 6,0m de lado. Quais devem ser as dimensões da caixa para que o seu volume seja máximo?

Answer 1

Boa tarde!

Retire desta chapa metálica um quadrado em cada canto de dimensões x por x.
Cada lado desta chapa terá, então, ao se fechar esta chapa metálica (veja que dobrando ficará com altura x e lados (6-2x).
O volume desta caixa será:
$V(x)=(6-2x)^2\cdot{x}\\ V(x)=(36-24x+4x^2)x\\ V(x)=36x-24x^2+4x^3\\ V'(x)=36-48x+12x^2$

Resolvendo esta equação do segundo grau encontraremos as seguintes raízes:
$12x^2-48x+36=0\\ x^2-4x+3=0\\ \Delta=(-4)^2-4(1)(3)=16-12=4\\ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2(1)}\\ x=\frac{4\pm{2}}{2}\\ x'=\frac{4+2}{2}=3\\ x''=\frac{4-2}{2}=1$

Para saber qual ponto é máximo e qual é mínimo:
$V''(x)=-48+24x\\ V''(1)=-48+24(1)=-24\text{ Ponto de maximo, V''(x)<0}\\ V''(3)=-48+24(3)=24\text{ Ponto de minimo, V''(x)>0}$

Então, as dimensões da caixa serão:
x por (6-2x) por (6-2x)
1 por (6-2) por (6-2)
1 por 4 por 4 = 1:4:4

Espero ter ajudado!