Question

calculo 1 limite
$\lim_{x \to \ a} \frac{x^2 - (a+1)x + a }{x^3 - a^3}$

Answer 1

Olá


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to a} ~ \frac{x^2-(a+1)x+a}{x^3-a^ 3} ~=~ \frac{0}{0} }$



Esse limite resulta em uma indeterminação do tipo 0/0.


Para resolver esse limite, será necessário dividir o numerador e o denominador pela raiz do limite (x-a)


Aplicando a distributiva no numerador:

x² - (a+1)x + a

x² - xa - x + a


Dividindo o numerador:

$\displaystyle\mathsf{~~x^2-a^2x-x+a \qquad\qquad\qquad |\underline{x-a}}\\\mathsf{\underline{-x^2+a^2x}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad ~~x-1}\\\mathsf{\underline{~~0~+~0~~~+x-a}}\\\mathsf{\qquad\qquad0}$


Portanto o numerador ficará sendo

(x-a)(x-1)




No denominador:

É uma diferença entre cubos.

E como deve ser de conhecimento

x³-y³ = (x-y)(x²+xy+y²)


Portanto, o denominador ficará:

(x-a)(x²+ax+a²)




Substituindo no limite



$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to a} ~ \frac{(x-a)(x-1)}{(x-a)(x^2+ax+a^2)} }$


Simplifica os termos em comum (x-a)


$\displaystyle\mathsf{ \lim_{x \to a} ~ \frac{(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!a)(x-1)}{(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!a)(x^2+ax+a^2)} }\\\\\\\mathsf{ \lim_{x \to a} ~ \frac{x-1}{x^2+ax+a^2}~=~ \frac{a-1}{a^2+a\cdot a+a^2}~=~ \frac{a-1}{3a^2} }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{ \lim_{x \to a} ~ \frac{x^2-(a+1)x+a}{x^3-a^3}~=~ \frac{a-1}{3a^2} }}$