Question

CALCULE y" para a função y=x(2x+1)^3

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = x.(2x + 1) {}^{3}$

A questão quer saber a derivada segunda. De praxe vamos encontrar a primeira derivada:

• Primeira derivada:

$\sf y = x.(2x + 1) {}^{3} \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x.(2x + 1) {}^{3} )$

Observe que há um produto de funções, ou seja, devemos usar a regra do produto para que possamos encontrar essa derivada:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{\sf \sf( f(x).g(x))' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)}}}$

Aplicando a regra do produto, temos que:

$\sf \frac{dy}{dx} = (x)'.(2x + 1). {}^{3} + x.((2x + 1) {}^{3} )' \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 1.(2x + 1) {}^{3} + x.((2x + 1) {}^{3} )$

Observe que ali devemos aplicar a regra da cadeia, pois trata-se de uma função composta. Então digamos que as funções sejam:

$\sf u = 2x + 1 \: \: \: e \: \: \: y = u {}^{3}$

Aplicando a regra da cadeia, temos que:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (u {}^{3} ). \frac{d}{dx} (2x + 1) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 3u {}^{2} .2\Longrightarrow \frac{dy}{dx} = 6u {}^{2} \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = 6.(2x + 1) {}^{2}$

Substituindo esse resultado no cálculo daquela derivada ali em cima:

$\sf \frac{dy}{dx} = (2x + 1) {}^{3} + x.(6.(2x + 1) {}^{2} ) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} =(2x + 1) {}^{3} + 6x(2x + 1) {}^{2}$

Fatorando essa expressão, temos que:

$\sf \frac{dy}{dx} = (2x + 1) {}^{2} .(2x + 1) +( 2x + 1) {}^{2} .(6x) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = (2x + 1) {}^{2} .( 2x + 1 + 6x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = (2x + 1) {}^{2} .(8x + 1) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos derivar mais uma vez.

• Derivada segunda

Obseeve que temos mais uma vez outro produto de funções, então vamos aplicar a regra:

$\sf \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } =( (2x + 1) {}^{2} )'.(8x + 1) + (2x + 1) {}^{2} .(8x + 1) '$

Essa primeira derivada também deve seguir o mesmo princípio da anterior, isto é, usar a regra da cadeia na derivação.

$\sf (2x + 1) {}^{2} \Longrightarrow u = (2x + 1) \: \: \: e \: \: \: y = u {}^{2}$

Aplicando a regra da cadeia:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}u {}^{2} . \frac{d}{dx}(2x + 1) \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 2u.(2) \Longrightarrow \frac{dy}{dx} = 4u\Longrightarrow \frac{dy}{dx} = 8x + 4$

Substituindo essa derivação onde paramos:

$\sf \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } = (8x + 4).(8x + 1) + (2x + 1) {}^{2} .(8) \\ \\ \sf \frac{d {}^{2} y}{dx {}^{2} } = 64x {}^{2} + 40x + 4 + 32x {}^{2} + 32x + 8 \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf \frac{d {}^{2}y }{dx {}^{2} } = 96x {}^{2} + 72x + 12}}$

Espero ter ajudado