Question

Calcule y'' na função y=sen(x^2 e^x)

Answer 1

• $\mathcal{D\,E\,R\,I\,V\,A\,D\,A\,S}$

A derivada num ponto é a taxa de variação instantânea em relação à variável, nesse ponto e, geometricamente, equivale ao declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto.

A função que a x faz corresponder a sua taxa de variação instantânea é chamada de primeira derivada de f, representada por  $f'$.

Se calcularmos a taxa de variação instantânea dos pontos de  $f'$  obtemos a derivada da primeira derivada de f, ou seja, a segunda derivada de f, representada por  $f''$.

Para nos ajudar a calcular estas funções, temos várias regras de derivação, das quais devemos saber pelo menos as seguintes:

Sejam  $a,b\in\mathbb{R}$  e u e v expressões em x:

• $a'=0$
• $(ax^b)'=a\times b\times x^{b-1}$
• $(u+v)'=u'+v'$
• $(u\times v)'=u'\times v+u\times v'$
• $\frac{u}{v}=\frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}$
• $(u^a)'=a\times u^{a-1}\times u'$
• $(e^u)'=u'\times e^u$
• $(ln\;\:u)'=\frac{u'}{u}$
• $(\log_{a}u)'=\frac{u'}{u\times ln\;a}$
• $(sin\;u)'=u'\times cos\;u$
• $(cos\;u)'=-u'\times sin\;u$
• $(tan\;u)'=\frac{u'}{cos^2\;u}$

Agora que já sabemos com o que estamos a trabalhar, vamos aplicar tudo isto ao problema.

    $y=sin(x^2\times e^x)$

    $y'=[sin(x^2\times e^x)]'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y'=(x^2\times e^x)'\times cos(x^2\times e^x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y'=[(x^2)'\times e^x+x^2\times (e^x)']\times cos(x^2\times e^x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y'=(2x\times e^x+x^2\times e^x)\times cos(x^2\times e^x)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y'=(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)$

    $y''=[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]'\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2xe^x+x^2e^x)'\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[((2x+x^2)e^x)'\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[((2x+x^2)'e^x+(2x+x^2)(e^x)')\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[((2x)'+(x^2)'e^x+(2x+x^2)e^x)\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2+2x)e^x+(2x+x^2)e^x)\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)']\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]+[(2xe^x+x^2e^x)\times (-(x^2\times e^x)'\times sin(x^2\times e^x))]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]-[(2xe^x+x^2e^x)\times (x^2\times e^x)'\times sin(x^2\times e^x)]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]-[(2xe^x+x^2e^x)\times [(x^2)'\times (e^x)+(x^2)\times (e^x)']\times sin(x^2\times e^x)]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=[(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)]-[(2xe^x+x^2e^x)\times (2xe^x+x^2e^x)\times sin(x^2\times e^x)]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y''=(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)-(2xe^x+x^2e^x)^2\times sin(x^2\times e^x)$

Assim concluimos que a resposta é:

$y''=(2e^x+4xe^x+x^2e^x)\times cos(x^2\times e^x)-(2xe^x+x^2e^x)^2\times sin(x^2\times e^x)$

Podes ver mais exercícios em que usamos derivadas em:

• https://brainly.com.br/tarefa/30128561
• https://brainly.com.br/tarefa/29848942
• https://brainly.com.br/tarefa/29848850

Em anexo deixo outra forma de descobrir a expressão da função derivada, o chamado método da derivada por definição.