Question

Calcule tg 15°/cos 15°

Answer 1

Primeiro vamos ter que calcular a tangente de 15° e o cosseno de 15°, para isso usarmos as formulas adição de arcos.

• Cosseno 15°:

Concorda comigo que 15° é igual a (45° - 30°), caso concorde ótimo, pois podemos escrever isso da seguinte forma:

$\sf cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b) \\ \sf cos(45 {}^{ \circ} - 30 {}^{ \circ}) = cos45 {}^{ \circ} .cos30 {}^{ \circ} + sen45 {}^{ \circ} .sen30 {}^{ \circ} \\ \sf cos(15 {}^{ \circ} ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} . \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} . \frac{1}{2} \\ \sf cos(15 {}^{ \circ}) = \frac{ \sqrt{6} }{4} + \frac{ \sqrt{2} }{4} \\ \sf cos(15 {}^{ \circ} ) = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4}$

Esse é o valor do cosseno de 15°.

• Tangente de 15°:

Do mesmo jeito que fizemos com o cosseno faremos com a tangente, mudando apenas a fórmula.

$\sf tg(a + b) = \frac{tg(a) + tg(b)}{1 - tg(a).tg(b)} \\ \\ \sf tg(45 {}^{ \circ} - 30 {}^{ \circ} ) = \frac{tg(45 {}^{ \circ}) - tg(30 {}^{ \circ} ) }{1 + tg(45 {}^{ \circ} ).tg(30 {}^{ \circ)} } \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{1 - \frac{ \sqrt{3 } }{3} }{1 + 1. \frac{ \sqrt{3} }{3} } \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{ 1 - \frac{ \sqrt{3} }{3} }{1 + \frac{ \sqrt{3} }{3} } \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{ \frac{3 - \sqrt{3} }{ \cancel3} }{ \frac{3 + \sqrt{3} }{ \cancel3} } \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{3 - \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} = \frac{ 3 - \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } . \frac{3 - \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ}) = \frac{ 3 .3 - 3 \sqrt{3} -3 \sqrt{3} + \sqrt{3} . \sqrt{3} }{9 - 3} \\ \\ \: \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{9 - 6 \sqrt{3} + 3}{6} \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{12 - 6 \sqrt{3} }{6} \\ \\ \sf tg(15 {}^{ \circ} ) = \frac{ \cancel6.(2 - 1 \sqrt{3}) }{ \cancel6} \\ \\ \boxed{ \sf tg(15 {}^{ \circ} )= 2 - \sqrt{3} }$

Agora é só dividir esses dois valores:

$\sf \frac{tg(15 {}^{ \circ} )}{cos(15 {}^ { \circ}) } = \sf \frac{2 - \sqrt{3} }{\frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{4} } \\ \\ \sf \frac{2 - \sqrt{3} }{1} . \frac{4}{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } = \frac{4.(2 - \sqrt{3}) }{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } = \\ \\ \sf \frac{8 - 4 \sqrt{3} }{ \sqrt{6} + \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{ \sqrt{6} - \sqrt{2} } = \frac{8 \sqrt{6} - 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{18} + 4 \sqrt{6} }{ 6 - 2} = \\ \\ \sf \frac{12 \sqrt{6} - 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{9.2} }{ 4} = \frac{12\sqrt{6} - 8 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} }{4} = \\ \\ \sf \frac{12 \sqrt{6} - 20 \sqrt{2} }{4} = \boxed{\sf3\sqrt{6} - 5 \sqrt{2} }$

Espero ter ajudado