Question

Calcule.


$\mathsf{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^4+4}}$

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Seja $S_{\infty}$ a série infinita que queremos calcular:

$\displaystyle S_{\infty}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^4+4}$

Para encontrarmos o resultado, vamos inicialmente analisar o seguinte somatório (que é finito):

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k^4+4}$

Vamos tentar fatorar o polinômio do denominador do termo geral usando o Lema de Gauss. É possível observar que ele não apresenta raízes reais, então vamos diretamente escrevê-lo como um produto de dois polinômios de grau 2:

$k^4+4=(k^2+ak+2)(k^2+bk+2)\\\\ k^4+4\equiv k^4+(a+b)k^3+(2+2+ab)k^2+(2a+2b)k+4\\\\ k^4+4\equiv k^4+(a+b)k^3+(4+ab)k^2+(2a+2b)k+4\\\\ \Longrightarrow \begin{cases}a+b=0\Longrightarrow a=-b~~~(i)\\ 4+ab=0\Longrightarrow ab=-4~~~(ii)\\ 2a+2b=0\Longrightarrow a=-b~~~(i)\end{cases}$

Por (i) e (ii), obtemos que $(a,b)=(-2,2)\lor (a,b)=(2,-2)$. Assim:

$k^4+4=(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)$

Agora, separaremos o termo geral do somatório em frações parciais utilizando a fatoração obtida para o denominador:

$\dfrac{k}{k^4+4}=\dfrac{Ak+B}{k^2-2k+2}+\dfrac{Ck+D}{k^2+2k+2}\\\\ =\dfrac{(A\!+\!C)k^3\!+\!(2A\!+\!B\!-\!2C\!+\!D)k^2\!+\!(2A\!+\!2B\!+\!2C\!-\!2D)k\!+\!(2B+2D)}{(k^2-2k+2)(k^2+2k+2)}\\\\ \Longrightarrow \begin{cases}A+C=0\Longrightarrow A=-C~~~(I)\\ 2A+B-2C+D=0~~~(II)\\ 2A+2B+2C-2D=1~~~(III)\\ 2B+2D=0\Longrightarrow B=-D~~~~(IV)\end{cases}$

Substituindo (I) e (IV) em (II):

$2A+B-2C+D=0\\\\ 2A+B-2(-A)+(-B)=0\\\\ 4A=0\Longrightarrow \boxed{A=C=0}$

Substituindo (I) e (IV) em (III):

$2A+2B+2C-2D=1\\\\ 2A+2B+ 2(-A)-2(-B)=1\\\\ 4B=1\Longrightarrow\boxed{B=\dfrac{1}{4}}~\land~\boxed{C=-\dfrac{1}{4}}$ Portanto, o termo geral pode ser reescrito como: $\dfrac{k}{k^4+4}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{k^2-2k+2}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{k^2+2k+2}\\\\ \dfrac{k}{k^4+4}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{(k^2-2k+1)+1}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{(k^2+2k+1)+1}\\\\ \dfrac{k}{k^4+4}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{(k-1)^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{(k+1)^2+1}$

Agora, para podermos analisar melhor o que foi obtido acima, vamos definir a seguinte função:

$f(k)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{k^2+1}$

Assim, o somatório equivale a:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n}[f(k-1)-f(k+1)]$

Que é uma soma telescópica que tem um salto de 2 termos. Calculando-a:

$\begin{matrix}S=&f(0)-\diagup\!\!\!\!f(2)\\ & f(1)-\diagup\!\!\!\!f(3)\\ &\diagup\!\!\!\!f(2)-\diagup\!\!\!\!f(4)\\ + & ...\\ & \diagup\!\!\!\!f(n-4)-\diagup\!\!\!\!f(n-2)\\& \diagup\!\!\!\!f(n-3)-f(n-1)\\ & \diagup\!\!\!\!f(n-2)-f(n)\\ & ----------\end{matrix}\\\\ S=f(0)+f(1)-f(n-2)-f(n)$

Logo:

$S=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{0^2+1}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{1^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{(n-1)^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{n^2+1}\\\\ S=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{(n-1)^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{n^2+1}\\\\ S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{(n-1)^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{n^2+1}\\\\ \boxed{S=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{(n-1)^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{n^2+1}}$

Mas, sabemos que:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^4+4}=\lim\limits_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k^4+4}$

Substituindo o que já obtivemos:

$S_{\infty}=\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{(n-1)^2+1}-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{n^2+1}\right)\\\\ S_{\infty}=\dfrac{3}{8}-0-0\\\\ \boxed{S_\infty = \dfrac{3}{8}}$

Portanto, a resposta final é:

$\boxed{\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{k}{k^4+4}=\dfrac{3}{8}}}$

Answer 2

O valor da soma infinita é igual a:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+4}= \frac{3}{8}\end{gathered}$

Desejamos calcular a seguinte série:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+4}= \lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1}\frac{k}{k^4+4} \end{gathered}$

Vamos então abrir em frações parciais, utilizando a Identidade de Sophie-Germain, dada da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} a^4+4b^4=\left(a^2-2ab+2b^2\right)\left(a^2+2ab+2b^2\right) \end{gathered}$

Aplicando no denominador, sendo a = k e b = 1, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1}\frac{k}{\left(k^2-2k+2\right)\left(k^2+2k+2\right)} \end{gathered}$

Agora sim podemos abrir em frações parciais, ficando então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{k}{\left(k^2-2k+2\right)\left(k^2+2k+2\right)}=\frac{A}{k^2-2k+2}+\frac{B}{k^2+2k+2} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} k=A(k^2+2k+2)+B(k^2-2k+2)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} Ak^2+2Ak+2A+Bk^2-2Bk+2B-k=0\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}k^2\left(A+B\right)+k\left(2A-2B-1\right)+\left(2A+2B\right)=0\end{gathered}$

E com isso, para encontrar os valores de A e B temos que resolver o seguinte sistema:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases} A+B=0\ \ \ \ \green{\sf (I)}\\ 2A-2B=1\ \ \ \ \green{\sf (II) }\\ 2A+2B=0\ \ \ \ \green{\sf (III)}\end{cases}\end{gathered}$

Resolvendo, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}A=-B\ \ \ \ \ \ \ ||\ \ \ A=-B\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} -2B-2B=1\ || \ A=-\left(-\frac{1}{4}\right)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{B=-\frac{1}{4}}}\ \ \ \wedge \ \ \underline{\boxed{A=\frac{1}{4}}}\end{gathered} }$

Substituindo os valores de A e B que encontramos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1}\frac{1}{4\left(k^2-2k+2\right)} - \frac{1}{4\left(k^2+2k+2\right)}\end{gathered}$

Pela lineariedade, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{1}{4}\cdot\lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1}\frac{1}{k^2-2k+2} - \frac{1}{k^2+2k+2}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{1}{4}\cdot\lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1}\frac{1}{(k-1)^2+1} - \frac{1}{(k+1)^2+1}\end{gathered}$

Perceba que temos uma série telescopica, que quase todos os termos se anulam:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 1-\!\diagup\!\!\!\!\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\!\diagup\!\!\!\!\frac{1}{10}+\!\diagup\!\!\!\!\frac{1}{5}-\cdots+\!\diagup\!\!\!\!\frac{1}{(n-1)^2+1}-\frac{1}{(n+1)^2+1}\end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{1}{4}\cdot\lim_{n \to \infty} 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)^2+1}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}-\underbrace{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2+2n+2}}_{\rightarrow 0}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+4}= \frac{3}{8}} }}\ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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