Question

Calcule $\lim_{x \to 2} x^{2} = 4$ pela definição formal de limite, em que:

para ∀ε > 0, ∃ δ > 0; 0 < |x - p| < δ ⇒ |f (x) - L| < ε (dado $\lim_{x \to p} f(x) = L$).

Answer 1

pela definição

$\boxed{\boxed{0\ \textless \ |x-2|\ \textless \ \delta \Rightarrow |x^2-4|\ \textless \ \varepsilon}}$

desenvolvendo
a²-b² = (a-b)(a+b)

$|x^2-4|\ \textless \ \varepsilon\\\\ |(x-2)(x+2)|\ \textless \ \varepsilon\\\\ \boxed{\boxed{|x-2|*|x+2|\ \textless \ \varepsilon}}$

vai ter q dar um jeito de se livrar desse x+2

temos que:
$|x-2|\ \textless \ \delta$

o seria uma certa distancia próxima do centro 2  
pegando um  δ<1 

$|x-2|\ \textless \ 1\\\\\\-1\ \textless \ x-2\ \textless \ 1\\\\ \text{somando +4 , para conseguir x+2}\\\\ -1+4\ \textless \ x-2+4\ \textless \ 1+4\\\\ \boxed{\boxed{3\ \textless \ x+2\ \textless \ 5}}$

temos
$\boxed{|x+2|\ \textless \ 5}$

voltando no valor do epsilon 
$|x-2|*|x+2|\ \textless \ \varepsilon\\\\|x-2|*5\ \textless \ \varepsilon\\\\ \boxed{\boxed{|x-1|\ \textless \ \frac{ \varepsilon}{5} }}$

temos as restrições
|x-2| < 1
|x-2| < ε/5

$\delta= min \left(1 ; \frac{\varepsilon}{5} \right)$