Question

Calcule $\lim_{x \to 17} \frac{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{17} }{ x-17}$.

Answer 1

$\lim_{x \to 17} \frac{ \sqrt[3]{x}- \sqrt[3]{17} }{x-17} = \frac{0}{0}$

se vc eliminasse as raízes no numerador ficaria com (x-17)
um jeito de fazer isso seria elevando os dois termos do numerador ao cubo fazendo (∛x)³ -(∛17)³

como
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

considerando q no numerador ja temos (a-b) a=x, b=17
é só multiplicar por a²+ab+b² para obter (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

então multiplicando o numerador por (∛x)² +∛x .∛17+(∛17)²
se vc multiplicar o numerador tbm tera q multiplicar o denominador para manter a igualdade

$\lim_{x \to 17} \frac{ (\sqrt[3]{x}- \sqrt[3]{17}) }{(x-17)} * \frac{[( \sqrt[3]{x})^2+ \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{17} +(\sqrt[3]{17})^2] }{[( \sqrt[3]{x})^2+ \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{17} +(\sqrt[3]{17})^2] } \\\\ \lim_{x \to 17} \frac{( \sqrt[3]{x} )^3-( \sqrt[3]{17} )^3}{(x-17)[( \sqrt[3]{x})^2+ \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{17} +(\sqrt[3]{17})^2]} \\\\ \lim_{x \to 17} \frac{(x-17)}{(x-17)[( \sqrt[3]{x})^2+ \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{17} +(\sqrt[3]{17})^2]}$


$\lim_{x \to 17} \frac{1}{( \sqrt[3]{x})^2+ \sqrt[3]{x*17} +(\sqrt[3]{17})^2} = \frac{1}{( \sqrt[3]{17})^2+ \sqrt[3]{17*17} +(\sqrt[3]{17})^2} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{17^2} } = \frac{\sqrt[3]{17}}{51}$