Question

Calcule:

$\lim_{x \to \ 0} \frac{1- cos x}{x^{2} }$

Answer 1

Olá, boa noite.

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Para resolvermos este limite, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja o limite

$\underset{x\rightarrow 0}\lim~\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}$

Observe que ao substituirmos $x=0$, obtemos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$.

Podemos utilizar a Regra de L'Hôpital para resolver limites que apresentam estes tipos de indeterminação.

Dadas duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e diferenciáveis em $x=c$, em que $g'(x)\neq0$, a regra nos diz que: $\boxed{\underset{x\rightarrow c}\lim~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L}$.

Então, aplique a regra de L'Hôpital

$\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{(1-\cos(x))')}{(x^2)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função seno é a função cosseno.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pela regra do produto e da constante: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.

Aplicando as regras de diferenciação, temos:

$\underset{x\rightarrow 0}\lim~\dfrac{sin(x)}{2x}$

Aqui, observe que temos novamente a indeterminação $\dfrac{0}{0}$, porém existe outra maneira de resolver a mesma questão.

Podemos aplicar novamente a Regra de L'Hôpital (é o que faremos) ou utilizar o Teorema do Confronto.

Aplique novamente a regra

$\underset{x\rightarrow0}\lim~\dfrac{\cos(x)}{2}$

Calcule o limite da função

$\dfrac{\cos(0)}{2}\\\\\\ \dfrac{1}{2}$

Este é o valor deste limite.