Question

Calcule $\lim_{n \to \infty} \sqrt{x^{2}+x+1 } - \sqrt{x^{x}-x+1}$

Answer 1

Podemos escrever um polinômio em função de suas raízes:

$p(x) = (x-r_1) \cdot (x-r_2)$

Onde $r_1$ e $r_2$ são as raízes.

Utilizando a equação de Bhaskara:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

no primeiro polinômio teremos: a = 1, b =1 e c = 1. Substituindo:

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2}$

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} \cdot i}{2}$

A partir daqui chamarei:

$A = \dfrac{1 - \sqrt{3} \cdot i}{2}$

e:

$B = \dfrac{1 + \sqrt{3} \cdot i}{2}$

Então, o primeiro polinômio pode ser escrito como:

$x^2+x + 1 = (x-(-A)) \cdot (x - (-B)) = (x+A) \cdot (x +B)$

Para o segundo polinômio teremos: a = 1, b = -1 e c = 1. Seguindo os mesmos passos:

$x = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}$

$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{3} \cdot i}{2}$

Então o segundo polinômio pode ser escrito como:

$x^2-x + 1 = (x-B) \cdot (x -A)$

Desta forma o limite pode ser escrito como:

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} - \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}$

Agora vem o truque. Eu quero remover as raízes quadradas. Para isso vou multiplicar e dividir pelo conjugado ao mesmo tempo. Isto é:

$\lim_{x \to \infty} \left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} - \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right] \cdot \dfrac{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} + \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right]}{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} + \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right]}$

Quando você multiplica e divide por um número qualquer ao mesmo tempo é o mesmo que você multiplicar por 1.

Agora, multiplicando as raízes quadradas no numerador, No termo do meio, alguns termos se anulam. Teremos o limite de

$\lim_{x \to \infty}\dfrac{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)}^2 - \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}^2\right]}{{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} + \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right]}}$

Quando temos raiz quadrada de algo elevado ao quadrado, a raiz some.

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x+A) \cdot (x +B)- (x-A) \cdot (x -B)}{{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} + \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right]}}$

Agora, multiplicando tudo no numerador:

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{(x^2 + (A+B) \cdot x + A \cdot B- x^2 + (A+B) \cdot x - A \cdot B}{{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} + \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right]}}$

A maior parte dos termos se anula. Sobrará:

$\lim_{x \to \infty}\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot x}{{\left[\sqrt{(x+A) \cdot (x +B)} + \sqrt{(x-A) \cdot (x -B)}\right]}}$

Agora, perceba que, se aplicarmos o limite agora teremos infinito no numerador e no denominador. Em limites, quando ambos numerador e denominador vão ao infinito, podemos simplificar e infinito dividido por infinito tende a 1:

$\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot \infty}{{\left[\sqrt{(\infty+A) \cdot (\infty +B)} + \sqrt{(\infty-A) \cdot (\infty -B)}\right]}}$

$\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot \infty}{{\left[\sqrt{\infty \cdot \infty} + \sqrt{\infty \cdot \infty}\right]}}$

$\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot \infty}{{\left[\sqrt{\infty^2} + \sqrt{\infty^2}\right]}}$

$\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot \infty}{\infty + \infty}}$

$\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot \infty}{2\cdot\infty}$

Simplificando:

$\dfrac{2 \cdot (A+B) \cdot \infty}{2\cdot\infty} = A+B$

Substituindo A e B pelos valores iniciais:

$A+B = \left(\dfrac{1 - \sqrt{3}\cdot i}{2} +  \dfrac{1 + \sqrt{3}\cdot i}{2}\right) = \dfrac{2}{2} = 1$

Assim, o limite é 1