Question

Calcule:
$\\~\\ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\log_\frac{1}{2}{\sqrt[n]{32}}}{\log_\frac{1}{2}{8^{n+2}}}$

Answer 1

• Essa tarefa é sobre séries infinitas.

Vamos supor que a série converge e calcular seu valor. Para isso precisamos simplificar a expressão. Temos:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\log_{\frac{1}{2}}\sqrt [n]{32}}{\log_{\frac{1}{2}}8^{n+2}}\qquad (1)$

Calculando os logaritmos:

$\log_{\frac{1}{2}}\sqrt [n]{32}=\dfrac{1}{n}\cdot log_{\frac{1}{2}}\,32=\dfrac{-5}{n}\qquad(2)$

$\log_{\frac{1}{2}}8^{n+2}}=(n+2)\cdot log_{\frac{1}{2}}\,8=-3n-6\qquad (3)$

Substituindo (2) e (3) na equação ( 1 ), vem:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\dfrac{5}{n}}{3n+6}=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{5}{3n^2+6n}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{5}{3n(n+2)}\rightarrow$

$\boxed{\dfrac{5}{3}\cdot \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+2)}}\qquad(4)$

Agora vamos analisar a série acima, podemos reescrevê-la da seguinte forma:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+2)}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2} \right)=\dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\qquad (5)$

Vamos calcular alguns termos da série, temos:

$\dfrac{1}{2}\cdot\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{2} \cdot \left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...\right)\qquad(6)$

Observe que temos uma série telescópica, onde quase todos os termos se cancelam com exceção de apenas dois, logo:

$\dfrac{1}{2}\cdot\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{2} \cdot \left(1+\dfrac{1}{2}+0\right)=\dfrac{3}{4}\qquad(7)$

Substituindo na equação (4), obtemos:

$\dfrac{5}{3}\cdot \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}\qquad(8)$

Portanto:

$\boxed{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\log_{\frac{1}{2}}\sqrt [n]{32}}{\log_{\frac{1}{2}}8^{n+2}}=\dfrac{5}{4}}$

Bons estudos! =D

Equipe Brainly