Question

calcule se existirem os seguintes limites

- 2x - 4
h) lim
x-2 x3 + 2x2​

Answer 1

O valor do limite quando x tende a -2 é

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} = -\dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$

Primeiro vamos verificar se há alguma indeterminação no limite.

                              $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2(-2)-4}{(-2)^3+2(-2)^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{4-4}{-8+8} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{0}{0} \\ \\\end{aligned}$

Chegamos em uma indeterminação do tipo 0/0, há dois métodos usuais para fugir das indeterminações com polinômios.

• Teorema de D'Alembert, se P(a) = 0, então o polinômio é divisível por (x-a), ou seja, se a é uma raiz do polinômio, podemos dividí-lo por (x - a)

• Regra de L'Hôpital, se temos uma indeterminação (0/0 ou ±∞/±∞) e as derivadas das funções f(x) e g(x) existem com g'(x) ≠ 0, então:

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to a} \ & \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\ \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = L \\ \\\end{aligned}$

Então vamos resolver a questão utilizando os dois métodos.

Resolução por Teorema de D'Alembert

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2}, \text{ divisivel por (x+2) }\\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2(x+2)}{x^2(x+2)} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{x^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{(-2)^2} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{4} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{1}{2} \\ \\\end{aligned}$

Logo,

                            $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} = -\dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$

Resolução por Regra de L'Hôpital

Pela regra de derivação temos que:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) &= ax^n\\ \\\dfrac{d}{dx}f(x) &= nax^{n-1}\\ \\ \\\end{aligned}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) &= -2x - 4\\ \\g(x) &= x^3+2x^2\\ \\ \\f'(x) &= -2 \\ \\g'(x) &= 3x^2 + 4x\end{aligned}$

Então podemos substituir o limite por:

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2}{3x^2+4x} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2}{3(-2)^2+4(-2)} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2}{12-8} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{2}{4} \\ \\\lim_{x \to -2} \ & -\dfrac{1}{2} \\ \\\end{aligned}$

Então podemos verificar novamente que

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to -2} \ & \dfrac{-2x-4}{x^3+2x^2} = -\dfrac{1}{2}\\ \\\end{aligned}$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

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brainly.com.br/tarefa/39773684

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Answer 2

Olá, boa noite ☺

Resolução:

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{-2x-4}}{x^3+2x^2}$

Primeiramente é necessário verificar se existe uma indeterminação. Veja:

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{-2.(-2)-4}}{(-2)^3+2.(-2)^2}$

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{0}}{0} =0$

Veja que temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver essa problema podemos utilizar a Regra de L'Hospital:

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{\dfrac{d}{dx} (-2x-4)}}{\dfrac{d}{dx}( x^3+2x^2)}$

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{ (-2)}}{( 3x^2+4x)}$

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{ (-2)}}{( 3\cdot(-2)^2+4\cdot(-2)}$

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{ (-2)}}{( 12-8)}$

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{{ (-2)}}{(4)}$

$\lim_{x\rightarrow -2} -\frac{{1}}{2}$

Resposta: -1/2

Bons estudos :)