Question

calcule,se existir,a inversa das matrizes ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja a matriz identidade de ordem 2

    $I=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

O produto de uma matriz pela sua inversa resultará em uma matriz identidade.

a) Seja a matriz inversa

        $M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

   Então:  M · M⁻¹ = I

        $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

        $\left[\begin{array}{ccc}3.a+1.c&3.b+1.d\\5.a+2.c&5.b+2.d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

        $\left[\begin{array}{ccc}3a+c&3b+d\\5a+2c&5b+2d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

   Igualando cada elemento entre a igualdade, teremos dois sistemas

        $\left\{{{3a+c=1}\atop{5a+2c=0}}\right.$

        $\left\{{{3b+d=0}\atop{5b+2d=1}}\right.$

   cálculo do primeiro sistema

        multiplique a primeira equação por -2 para cancelarmos o c e

        acharmos o a

        -6a - 2c = -2

        5a + 2c = 0

         -a          = -2        ×(-1)  →  a = 2

        substituindo o valor de a em qualquer equação, encontraremos o c

        3a + c = 1  →  3 · 2 + c = 1  →  6 + c = 1  →  c = 1 - 6  →  c = -5

   cálculo do segundo sistema

        multiplique a primeira equação por -2 para cancelarmos o d e

        acharmos o b

        -6b - 2d = 0

        5b + 2d = 1

          -b         = 1        ×(-1)  →  b = -1

        substituindo o valor de b em qualquer equação, encontraremos o d

        5b + 2d = 1  →  5 · (-1) + 2d = 1  →  -5 + 2d = 1  →  2d = 1 + 5  →  2d = 6

        d = 6 ÷ 2  →  d = 3

   Daí, a inversa de M será

         $M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-5&3\\\end{array}\right]$

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b) Seja a matriz inversa

         $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

   Então:  A · A⁻¹ = I

        $\left[\begin{array}{ccc}3&2\\6&4\\\end{array}\right].\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

        $\left[\begin{array}{ccc}3.a+2.c&3.b+2.d\\6.a+4.c&6.b+4.d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

        $\left[\begin{array}{ccc}3a+2c&3b+2d\\6a+4c&6b+4d\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

       

   Igualando cada elemento entre a igualdade, teremos dois sistemas

        $\left\{{{3a+2c=1}\atop{6a+4c=0}}\right.$

        $\left\{{{3b+2d=0}\atop{6b+4d=1}}\right.$

    cálculo do primeiro sistema

        multiplique a primeira equação por -2 para cancelarmos o c e

        acharmos o a

        -6a - 4c = -2

        6a + 4c = 0

           0 -   0  = -2

        este sistema não tem solução, pois cancelaremos as duas

        incógnitas

   cálculo do segundo sistema

        multiplique a primeira equação por -2 para cancelarmos o d e

        acharmos o b

        -6b - 4d = 0

        6b + 4d = 1

          0  -  0  = 1

        este sistema não tem solução, pois cancelaremos as duas

        incógnitas

   Essa matriz não terá inversa, pois ao calcularmos os sistemas,

   cancelaremos as duas incógnitas