Question

Calcule (se exestirem): lim IxI/x, x tende a 0

Answer 1

Avaliar o limite da função

     $\lim\limits_{x\to 0}~\dfrac{|x|}{x}$


Lembremos da definimos o módulo como

     $|x|=\left\{ \!\begin{array}{rl} x\,,&\textsf{se~~}x\ge 0\\\\ -\,x\,,&\textsf{se~~}x<0 \end{array} \right.$


E já que a sentença da função muda na vizinhança do ponto, devemos analisar os limites laterais  (pela esquerda e pela direita).

Observe também que a função não está definida no ponto  x = 0.


•   Avaliando o limite pela esquerda  (x < 0):

     $\lim\limits_{x\to 0^-}~\dfrac{|x|}{x}$


Mas  |x| = − x,  para  x < 0.  Portanto o limite pela esquerda fica

     $\displaystyle=\lim_{x\to 0^-}~\frac{-\,x}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0^-}(-\,1)\\\\\\ =-\,1\qquad\quad\mathbf{(i)}$


•   Avaliando o limite pela direita  (x > 0):

     $\lim\limits_{x\to 0^+}~\dfrac{|x|}{x}$


Mas  |x| = x,  para  x > 0.  Portanto o limite pela direita fica

     $\displaystyle=\lim_{x\to 0^+}~\frac{x}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0^+}~1\\\\\\ =1\qquad\quad\mathbf{(ii)}$


Como os limites laterais  (i)  e  (ii)  são diferentes, então o limite

     $\lim\limits_{x\to 0}~\dfrac{|x|}{x}$

não existe.


Bons estudos! :-)