Question

calcule ( raiz 3/2-i/2)^100 alguem poderia me ajudar?

Answer 1

Deseja-se calcular $\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)^{100}$

Quando queremos calcular uma potência de um número complexo, é muito conveniente que estejamos trabalhando com ele na forma geométrica. Vejamos o porquê disso:

Seja $z=|z| cis(\theta)$ um complexo escrito na forma geométrica (|z| é o módulo do complexo e θ o seu argumento). A forma cis(θ) representa cos(θ) + i.sen(θ). Podemos escrever uma potência qualquer de z como:

$z=|z| cis(\theta)\\\\ z^n=(|z| cis(\theta))^n\\\\ z^n = |z|^n\cdot[cis(\theta)]^n\\\\ \boxed{z^n = |z|^n cis(n\theta)}$

Então, vamos tentar escrever $z = \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}i$ na forma geométrica. Primeiro, vamos calcular o módulo de z:

$|z| = \sqrt{a^2+b^2}\\\\ |z| = \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}\\\\ |z| = \sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{4}{4}}=\sqrt{1}\\\\ |z| = 1$

Logo, $z = |z| cis(\theta) = 1\cdot cis(\theta) \Longrightarrow z = cis(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. Comparando com o que temos:

$\cos(\theta) = \dfrac{\sqrt3}{2}~~\land~~\sin(\theta) = -\dfrac{1}{2}$

Para um θ na primeira volta, temos que a única solução é θ = 330º. Então:

$z^{100} = \left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)^{100}\\\\ z^{100} = [cis(330^o)]^{100}\\\\ z^{100} = cis(100\cdot330^o)\\\\ z^{100} = cis(33000^o)$

Fazendo uma redução à primeira volta:

$33000^o = 91\cdot360^o+240^o$

Assim:

$z^{100} = cis(33000^o) = cis(91\cdot360^o+240^o)\\\\ z^{100} = cis(240^o) = \cos(240^o)+i\sin(240^o)\\\\ \boxed{z^{100} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt3}{2}i}$