Question

Calcule os valores de x,y e z nos sistemas, utilizando a regra de Cramer:
a)
x + 2y - z = 2
2x - y + 3z = 9
3x + 3y - 2z = 3

b)
x + y - 10 = 10
x - z - 5 = 0
y - z - 3 = 0

Answer 1

$\Delta=\det\left[\begin{matrix} 1&2&-1\\ 2&-1&3\\ 3&3&-2 \end{matrix}\right]=(2-9)-2(-4-9)-(6+3)=10\\ \\ \\ \Delta_x=\det\left[\begin{matrix} 2&2&-1\\ 9&-1&3\\ 3&3&-2 \end{matrix}\right]=2(2-9)-2(-18-9)-(27+3)=10\\ \\ \Delta_y=\det\left[\begin{matrix} 1&2&-1\\ 2&9&3\\ 3&3&-2 \end{matrix}\right]=(-18-9)-2(-4-9)-(6-27)=20\\ \\ \Delta_z=\det\left[\begin{matrix} 1&2&2\\ 2&-1&9\\ 3&3&3 \end{matrix}\right]=(-3-27)-2(6-27)+2(6+3)=30\\ \\ \\ x=\Delta_x/\Delta\;,\;y=\Delta_y/\Delta\;,\;z=\Delta_z$

$x=1\\y=2\\z=3$

b)

$\Delta=\left[\begin{matrix} 1&1&0\\ 1&0&-1\\ 0&1&-1 \end{matrix}\right]=1-(-1)=2\\ \\ \\ \Delta_x=\left[\begin{matrix} 20&1&0\\ 5&0&-1\\ 3&1&-1 \end{matrix}\right]=20(1)-(-5+3)=22\\ \\ \Delta_y=\left[\begin{matrix} 1&20&0\\ 1&5&-1\\ 0&3&-1 \end{matrix}\right]=(-5+3)-20(-1)=18\\ \\ \Delta_z=\left[\begin{matrix} 1&1&20\\ 1&0&5\\ 0&1&3 \end{matrix}\right]=(-5)-(3)+20(1)=12$

$x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}\;,\;y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\;,\;z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta}\\ \\ \\ x=11\\y=9\\z=6$

Answer 2

Pela regra de Cramer, temos como resposta a)x = 1, y = 2, z = 3, b)x = 11, y = 9, z = 6

Regra de Cramer

Vamos considerar o seguinte sistema de equação

• $\begin{cases}ax+by=c \\a'x+b'y=c' \\\end{cases}$

se formos  resolver esse sistema pelo método da adição, teremos o seguinte

• $\begin{cases}ax+by=c*b'\\a'x+b'y=c' *b\\\end{cases} = > \begin{cases}ab'x+bb'y=b'c \\a'bx+bb'y=bc' \\\end{cases}$

agora podemos subtrair as duas equações que resultará no seguinte

• $(ab'-a'b)x=b'c-bc'= > x={b'c-bc' \over ab'-a'b};ab'-a'b\neq 0$

Substituindo o valor de x em uma das duas equações, é possível encontrar o valor de y.

• $y=\frac{c'a-ca'}{ab'-a'b};ab'.a'b\neq 0$

Podemos observar que o valor ab' - a'b é o determinante da matriz associada ao sistema

• $\begin{cases}ax+by=c \\a'x+b'y=c' \\\end{cases}= > \left( \begin{array}{rrcccrr}a &&& b \\ a' &&& b' \\ \end{array} \right)= > \left| \begin{array}{rrcccrr}a &&& b \\ a' &&& b' \\ \end{array} \right|=ab'-a'b=0$

Podemos observar também que o determinante da matriz  $\left( \begin{array}{rrcccrr}c &&& b \\ c' &&& b' \\ \end{array} \right)$ obtida substituindo a primeira coluna da matriz associada incompleta pela matriz coluna dos termos independentes, é dado pelo valor b'c-bc', que acharemos Dx, e que o determinante da matriz $\left( \begin{array}{rrcccrr}a &&& c \\ a' &&& c' \\ \end{array} \right)$,obtida substituindo a segunda coluna da matriz associada incompleta pela matriz da coluna dos termos independentes, é dada pelo valor ac'-a'c, que chamaremos Dy. Desde que D ≠ 0, a solução de qualquer sistema pode ser dada pela regra de Cramer

$x=\frac{Dx}{D}$ e $y=\frac{Dy}{D}$

Com base na explicação podemos resolver o exercício

a)Matriz dos coeficientes

• $M=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&-1&3\\ 3&3&-2\end{pmatrix}$

Coluna dos resultados

• $\begin{pmatrix}2\\ 9\\ 3\end{pmatrix}$

Substituindo x nos valores da coluna com valores da coluna resposta

• $M_x=\begin{pmatrix}2&2&-1\\ 9&-1&3\\ 3&3&-2\end{pmatrix}$

Substituindo y nos valores da coluna com valores da coluna resposta

• $M_y=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&9&3\\ 3&3&-2\end{pmatrix}$

Teremos então: D = 10, Dx = 10, Dy = 20, Dz = 30. Daí, se formos usar a regra de Cramer, teremos: $x=\frac{D_x}{D},\:y=\frac{D_y}{D},\:z=\frac{D_z}{D}$

• $x=\frac{D_x}{D}=\frac{10}{10}$
• $y=\frac{D_y}{D}=\frac{20}{10}$

• $z=\frac{D_z}{D}=\frac{30}{10}$

Daí, teremos x = 1, y = 2, z = 3

b)Usaremos o mesmo procedimento da letra a). Sendo assim encontraremos como resultado x = 11, y = 9, z = 6

Saiba mais sobre a regra de cramer:https://brainly.com.br/tarefa/754830

#SPJ3