Question

Calcule os valores de x, y e q (quando aparecem) em cada triângulo.

(O número dessa questão é o 2, é que eu não consegui cortar a imagem, mas é pra me ajudar apenas na questão 2, obrigada)

Answer 1

Vamos usar a Lei dos Senos (triângulos A e B) e Lei dos Cossenos (triângulo C).

a) Falta a medida do ângulo α.

  30° + 120° + α = 180°

  150° + α = 180°

  α = 180° - 150°

  α = 30°

 Temos outro ângulo de 30°. Este triângulo é isósceles. Então lado x = lado y. Achando x encontramos também y. Não precisamos calcular os dois.

 Lei dos Senos:

$\frac{x}{seno30}=\frac{y}{seno30}= \frac{10\sqrt{3} }{seno120}$       seno 30° = $\frac{1}{2}$ ou 0,5

$\frac{x}{seno30}=\frac{10\sqrt{3} }{seno120}$                      seno 120° = $\frac{\sqrt{3} }{2}$ ≈ 0,866

$\frac{x}{\frac{1}{2} } =\frac{10\sqrt{3} }{\frac{\sqrt{3} }{2} }$

$x = \frac{\frac{1}{2} . 10\sqrt{3} }{\frac{\sqrt{3} }{2} }$

$x = \frac{5\sqrt{3} }{\frac{\sqrt{3} }{2} }$

$x = 5\sqrt{3}.\frac{2}{\sqrt{3} }$     ⇒  cancela (corta) $\sqrt{3}$

$x = 10$

$y = 10$

x = y = 10

b) Falta medidas dos ângulos α, 2α e 3α.

  α + 3α + 2α = 180°

  6α = 180°

  α = 180° : 6

  α = 30°

 3α = 90°  ⇒ temos aqui um ângulo de 90°. Esse triângulo é retângulo.

 2α = 60°

Lei dos Senos:

$\frac{y}{seno90}=\frac{4}{seno30}=\frac{x}{seno60}$

Achando lado y:

$\frac{y}{seno90}=\frac{4}{seno30}$

$\frac{y}{1} =\frac{4}{\frac{1}{2} }$

$y= \frac{4}{\frac{1}{2} }$

$y = 4 . \frac{2}{1}$

$y = 8$

Teorema de Pitágoras para achar x:

8² = x² + 4²

64 = x² + 16

- x² = 16 - 64

- x² = - 48

x² = 48

x = $\sqrt{48}$

$x = 6\sqrt{2}$

x = 6√2    

y = 8

c) Temos um ângulo só de 30°. Vamos usar a Lei dos Cossenos:

  $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cosB$

 $a=3\sqrt{3}$

 $b = x$

$c = 2$

$x^2 = (3\sqrt{3)}^2+2^2 - 2.3\sqrt{3}.2.cos30$

$x^2 = 9.3 + 4 -6\sqrt{3}.2.\frac{\sqrt{3} }{2}$ ⇒ cortamos 2.

$x^2 = 27 + 4 - 6\sqrt{9}$

$x^2 = 27 + 4 - 6.3$

$x^2 = 27 + 4 - 18$

$x^2 = 13$

$x = \sqrt{13}$

 x = √13

Vide anexos (Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Teorema de Pitágoras).