Question

Calcule os seguintes limites.

Answer 1

Todos os limites fornecidos possuem indeterminação, ou seja, se substituirmos o valor a qual o "x" tende, obteremos como resposta 0/0.

• Item f):

$\sf \red\clubsuit \: \lim_{x \rightarrow 1} \frac{6x {}^{2} + 11x + 3 }{2x {}^{2} - 5x - 12} \: \red\clubsuit$

Para retirar a indeterminação teremos fazer algumas manipulações algébricas que são elas fatorar o numerador e o denominador.

• Fatoração do numerador:

$\sf 6x {}^{2} + 11x + 3 \\ \sf 6x {}^{2} + (9 + 2)x + 3 \\ \sf 6x {}^{2} + 9x + 2x + 3 \\ \sf 6x {}^{2} + 2x + 9x + 3 \\ \sf 2x.(3x + 1) + 3.(3x + 1) \\ \sf (2x + 3).(3x + 1)$

• Fatoração do denominador:

$\sf 2x {}^{2} - 5x - 12 \\ \sf 2x {}^{2} + ( - 8 + 3)x - 12 \\ \sf 2x {}^{2} - 8x + 3x - 12 \\ \sf 2x.(x - 4) + 3.(x - 4) \\ \sf (x - 4).(2x + 3)$

Substituindo essas expressões nos seus devidos locais:

$\sf \frac{ \cancel{(2x +3)}.(3x + 1)}{(x - 4). \cancel{(2x + 3)}} = \frac{3x + 1}{x - 4}$

Agora de fato sumimos com a indeterminação, logo podemos substituir o valor a qual o "x" tende na expressão resultante.

$\sf \frac{3x + 1}{x - 4} = \frac{3. (\frac{ - 3}{2} ) + 1}{ - \frac{3}{2} - 4} = \frac{ \frac{ - 9}{2} + 1 }{ - \frac{3}{2} - 4} = \frac{ \frac{ - 9 + 2}{ \cancel2} }{ \frac{ - 3 - 8}{ \cancel2} } = \sf\frac{ - 7}{ - 11} = \boxed{ \sf \frac{7}{11} }$

• Item g)

$\red\clubsuit \: \sf \lim_{x \rightarrow1} \frac{x {}^{3} - 1}{x {}^{2} - 1} \: \red\clubsuit$

Para resolver esse limite devemos lembrar da estrutura dos produtos notáveis chamados de diferença de dois cubos e o produto da soma pela diferença, ambos dados por:

$\sf x {}^{3} - y {}^{3} = (x - y).(x {}^{2} + xy + y {}^{2} ) \\ \sf x {}^{2} -y^{2}= (x - 1).(x + 1)$

Substituindo nos seus devidos locais:

$\sf \frac{ \cancel{(x - 1)}(x {}^{2} + x + 1)}{(x + 1) . \cancel{(x - 1)}} = \frac{x {}^{2} + x + 1}{x + 1}$

Como a indeterminação sumiu, vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{x {}^{2} + x + 1 }{x + 1} = \frac{1 {}^{2} + 1 + 1}{1 + 1} = \boxed{\sf\frac{3}{2}}$

• Item h):

$\red\clubsuit\sf \:\lim_{x \rightarrow - 2} \frac{8 + x {}^{3} }{4 - x {}^{2} }\: \red\clubsuit$

Para esse limite usaremos a fatoração através da identidade de Sophie Germain.

• Temos a seguinte expressão:

$\sf (8 + x {}^{3}) = (x {}^{3} + 2 {}^{3} )$

Podemos dizer que:

$\sf(x {}^{3} + 2 {}^{3} ) = \sf (x + 2) {}^{3} \\ \sf (x + 2) {}^{3} = x {}^{3} + 6x {}^{2} + 12x + 8$

Se você perceber não são necessariamente iguais, portanto vamos usar a técnica de somar "0", ou seja, subtrair o termo que foi acrescentado.

$\sf (x {}^{3} + 6x {}^{2} + 12x + 8) - 6x {}^{2} - 12x \\ \sf (x + 2) {}^{3} - 6x {}^{2} - 12x \\ \green \bullet \: \sf (x + 2).(x + 2).(x + 2) - 6x {}^{2} - 12x \: \green\bullet$

Agora vamos fatorar o denominador, para isso usaremos os métodos tradicionais.

$\sf (4 - x {}^{2} ) = (2 {}^{2} - x {}^{2} ) = \sf (2 - x).(2 + x) \\ \sf \pink\bullet \: ( - 1).( - 2 + x).(2 + x) \pink \bullet$

Substituindo as expressões:

$\sf \frac{ \cancel{(x + 2)}.(x + 2).(x + 2) - 6x {}^{2} - 12x }{( - 1).( x - 2). \cancel{(x + 2)}} = \frac{(x + 2) {}^{2} - 6x {}^{2} - 12x}{2 - x}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{(x + 2) {}^{2} - 6x {}^{2} - 12x}{2 - x} = \frac{( - 2 + 2) {}^{2} - 6. ( - 2) {}^{2} - 12.( - 2) }{2 - ( - 2)} = \frac{ - 24 + 24}{4} = \frac{0}{4} = \boxed{\sf0}$

• Item i):

$\red \clubsuit \: \sf \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x {}^{4} - 16}{8 - x {}^{3} } \: \red\clubsuit$

Para resolver esse vamos usar as mesmas fatorações que usamos nos itens anteriores.

• Fatoração do numerador:

$\sf x {}^{4} - 16 = x {}^{4} - 2 {}^{4} = (x {}^{2} - 4).(x {}^{2} + 4) \\ \sf \purple\bullet \: (x {}^{2} + 4).(x + 2).(x - 2) \: \purple \bullet$

• Fatoração do denominador:

$\sf 8 - x {}^{3} = 2 {}^{3} - x {}^{3} \\ \sf \blue\bullet ( - 1).(x - 2).( - 4 - 2x - x {}^{2} )$

Substituindo as expressões:

$\sf \frac{(x {}^{2} + 4).(x + 2). \cancel{(x - 2)}}{ \cancel{( - 1). (x - 2)}.( - 4 - 2x - x {}^{2}) } = \frac{(x {}^{2} + 4).(x + 2)}{ - 4 - 2x - x {}^{2} }$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{(x {}^{2} + 4).( x + 2) }{4 - 2x - x {}^{2} } = \frac{(2 {}^{2} + 4).(2 + 2)}{ - 4 - 2.2 - 2 {}^{2} } = \frac{8.4}{ - 12} = \frac{32}{ - 12} = \boxed{ - \sf\frac{8}{3} }$

Espero ter ajudado