Question

Calcule os limites (demonstrados na imagem abaixo).
Fiz a Letra A e D dessa questão (a foto também está abaixo), mas não tenho certeza se estou no caminho certo, quem puder me ajudar e esclarecer minhas dúvidas eu agradeço, preciso entregar essa atividade amanhã, quero entender a partir da resolução, estive pesquisando bastante e não obtive resultados.
A Letra B dessa questão envolve limite em que x tende a 2 para a esquerda (ou seja x é menor que 2), e a Letra C limite que x tende a 3 para a direita (ou seja x é maior que 3), ambos os limites são indeterminados (apenas com a substituição se igualam a zero), e já pesquisei bastante exercícios similares à esses sem êxito de como proceder no cálculo.

Answer 1

→ Irei resolver o item b) e o d), pois o seu tem uma pequena falhazinha. Já o item c), peço que você poste outra pergunta só com esse item, pois é um pouco longo, pois devemos trabalhar com módulo.

• Item b)

$\lim_{x\to2^{-}} \frac{ \sqrt{4x - x {}^{2} } }{2 - x}$

Certamente se substituirmos o valor a qual o "x" tende, obteremos uma indeterminação, portanto vamos iniciar com manipulações algébricas. A saída que eu vejo é a gente multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que no caso é ele mesmo. Então:

$\frac{ \sqrt{4 - x {}^{2} } }{2 - x} . \frac{ \sqrt{4 - x {}^{2} } }{ \sqrt{4 - x {}^{2} } } \: \: \to \: \: \frac{4 - x {}^{2} }{(2 - x).( \sqrt{4 - x {}^{2} }) } \\ \\ \frac{1}{2 - x} . \frac{4 - x {}^{2} }{ \sqrt{4 - x {}^{2} } }$

Podemos ainda fazer uma modificação:

$\lim_{x\to2^{-}} \frac{1}{(2-x)} .\frac{(2+x).(2-x) }{ \sqrt{4 - x {}^{2} } }\: \to\:\lim_{x\to2^{-}} 1.\frac{x+2}{\sqrt{4 - x {}^{2} }}$

Provavelmente sumimos com a indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\frac{2+2 }{ \sqrt{4 - 2 {}^{2} } } \:\to\:\frac{4}{0^-}\:\to\: \infty$

Portanto, podemos dizer que:

$\boxed{\lim_{x\to2^{-}} \frac{ \sqrt{4x - x {}^{2} } }{2 - x} = \infty }$

• Item d)

$\lim_{x\to \infty ^{}} \sqrt{x {}^{2} - 1} - x$

Nesse limite, basta dividirmos todos pelo de maior grau, ou seja, x. Então:

$\frac{ \sqrt{x {}^{2} - 1} }{x} - \frac{x}{x} \: \to \: \: \ \sqrt{ \frac{x {}^{2} - 1 }{x {}^{2} } } - 1 \\ \\ \sqrt{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{2} } - \frac{1}{x {}^{2} } } - 1 \: \to \: \sqrt{1 - \frac{1}{x {}^{2} } } - 1$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sqrt{1 - \frac{1}{ \infty {}^{2} } } - 1$

Por um certo Teorema, sabemos que a divisão de um número finito por outro infinito, o resultado é 0. Então:

$\sqrt{1 - 0} - 1 \: \to \: \sqrt{1} - 1 \: \to \: 0$

Portanto podemos dizer que:

$\boxed{\lim_{x\to \infty ^{}} \sqrt{x {}^{2} - 1 } - x = 0}$

Espero ter ajudado