Question

Calcule os limites abaixo:

Answer 1

Resolvendo limites e simplificando as expressões, obtém-se:

d) 4        e) - 2      

$f)=\dfrac{2\sqrt{2}-1 }{3 }$

   

Para calcular limites, o que se faz em primeiro lugar é substituir o "x" pelo

valor do limite para que tende.

Se no fim der valores finitos, números, esse será o limite da expressão.

d)

$\lim_{x \to \ 1} (\dfrac{2x^2-x+1}{3x-2} )^2$

$(\dfrac{2*1^2-1+1}{3*1-2})^2 =(\dfrac{2+ 0}{1})^2 =2^2=4$

( ver gráfico anexo 1 )

e)

$\lim_{x \to \ -2} (\sqrt[3]{\dfrac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+4x+3} } )$

 

$=\sqrt[3]{\dfrac{(-2)^3+2*(-2)^2-3*(-2)+2}{(-2)^2+4*(-2)+3} }=\sqrt[3]{\dfrac{-8+2*4+6+2}{4-8+3} }$

$=\sqrt[3]{\dfrac{-8+2*4+6+2}{4-8+3} } =\sqrt[3]{\dfrac{-8+8+6+2}{-8+7} } =\sqrt[3]{\dfrac{0+8}{-1} }=\sqrt[3]{-8} =-\sqrt[3]{2^3}=-2$

( ver gráfico anexo 2 )  

Observação 1 → Índice do radical igual a expoente do radicando

Quando temos um radical com o índice igual ao expoente do radicando,

eles cancelam-se mutuamente, pois radiciação e potenciação são

operações inversas.

Exemplo

$-\sqrt[3]{2^3} =-2$

f)          

$\lim_{x \to \ \sqrt{2} } (\dfrac{2x^2-x}{3x} )$

     

$=\dfrac{2*(\sqrt{2}) ^2-\sqrt{2} }{3*\sqrt{2} } =\dfrac{2*2-\sqrt{2} }{3\sqrt{2} }=\dfrac{4-\sqrt{2} }{3\sqrt{2} }$

Devemos racionalizar o denominador.

3√2 = 4,2426406871192851464050661726291....  é uma dízima infinita

não periódica, logo é um número irracional.

Daí a necessidade de fazer com que venha um número racional no

denominador.

Multiplicar o numerador e o denominador por √2

$=\dfrac{(4-\sqrt{2})*\sqrt{2} }{3*\sqrt{2} *\sqrt{2} }=\dfrac{4*\sqrt{2}-\sqrt{2} *\sqrt{2} }{3*(\sqrt{2})^2 }=\dfrac{4\sqrt{2}-(\sqrt{2} )^2 }{3*2 }=\dfrac{4\sqrt{2}-2 }{3*2 }$

$=\dfrac{2*2\sqrt{2}-2 }{3*2 }=\dfrac{2*(2\sqrt{2}-1) }{3*2 }=\dfrac{2\sqrt{2}-1 }{3 }$

No numerador temos ( 4√2 - 2 ) = ( 2*2√2 - 2 ) podemos colocar em

evidência o 2 que é comum a ( 2*2√2 ) e a ( - 2 )

Depois o 2 no numerador cancela com o 2 no denominador,

simplificando a fração.

Bons estudos.

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( * )  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.