Question

Calcule os limites abaixo:

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$(a)\lim_{x \to \: 5{}^{ } } \frac{6 - \sqrt{1 + 7x} }{5 - x}$

Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador, pelo conjugado da expressão que encontra-se no numerador, pois assim vamos eliminar a raiz:

$\frac{6 - \sqrt{1 + 7x} }{5 - x} . \frac{6 + \sqrt{1 + 7x} }{6 + \sqrt{1 + 7x} } \: \to \: \frac{(6) {}^{2} - ( \sqrt{1 + 7x} ) {}^{2} }{(5 - x).(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \\ \\ \frac{36 - 1 -7x}{(5 - x).(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \: \to \: \frac{-7x + 35}{(5 - x).(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \\ \\ \frac{-7. \cancel{(x - 5)}}{( - 1) .\cancel{(x -5)}.(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \: \to \: \frac{-7}{ - 6 - \sqrt{1 + 7x} }$

Provavelmente sumimos com a Indeterminação, portanto vamos substituir o valor a qual o x tende:

$\frac{-7}{ - 6 - \sqrt{1 + 7.5} } \: \to \: \frac{-7}{ - 6 - \sqrt{1 + 35} } \: \to \: \frac{-7}{ - 6 - 6} \\ \boxed{ \frac{7}{12} }$

Portanto, podemos concluir que:

$\lim_{x \to \: 5{}^{ } } \frac{6 - \sqrt{1 + 7x} }{5 - x} = \frac{7}{12}$

Temos o seguinte limite:

$(b)\lim_{x \to \: 0 {}^{ } } \frac{1 - \cos(x)}{x {}^{2} }$

Vamos fazer a mesma coisa e multiplicar pelo conjugado do numerador:

$\frac{(1 - \cos(x))}{ {x}^{2} } . \frac{(1 + \cos(x))}{(1 + \cos(x))} \: \to \: \frac{(1) {}^{2} - ( \cos(x)) {}^{2} }{x {}^{2} .(1 + \cos(x)} \\ \\ \frac{1 - \cos {}^{2} (x)}{x {}^{2} + x {}^{2} \cos(x) }$

Pela trigonometria, sabemos que:

$\sin {}^{2} (x) - 1 = - \cos {}^{2} (x)$

Substituindo essa informação:

$\frac{1 + \sin {}^{2} (x) - 1}{x {}^{2} + x {}^{2}. \cos(x) } \: \to \: \frac{ \sin {}^{2} (x)}{x {}^{2} + x {}^{2}. \cos(x) } \\ \\ \frac{ \sin(x)}{(x + x. \cos(x)) } . \frac{ \sin(x)}{x} \: \to \: \frac{ \sin(x)}{x}. \frac{ \sin(x)}{x} . \frac{1}{(1 + \cos(x))}$

Como sabemos, o limite do seno, quando x tende a 0 possui um valor predefinido, que é:

$\boxed{ \lim_{x \to \: 0{}^{ } } \frac{ \sin(x)}{x} = 1 }$

Para que possamos aplicar essa propriedade, vamos aplicar também a propriedade da multiplicação dos limites:

$\lim_{x \to \: 0 } \frac{ \sin(x)}{x} .\lim_{x \to \: 0} \frac{ \sin(x)}{x} .\lim_{x \to \: 0 } \frac{1}{ 1 + \cos(x)}$

Substituindo o resultado daquela propriedade:

$1 \: . \: 1 \: . \:\lim_{x \to \:0 } \frac{1}{1 + \cos(0)} \: \to \: 1 \: . \: 1 \: .\frac{1}{(1 + 1)} \\ \\ 1 \: . \: 1 \:. \: \frac{1}{2} \: \to \: \boxed{ \frac{1}{2} }$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\lim_{x \to \: 0 {}^{ } } \frac{1 - \cos(x)}{x {}^{2} } = \frac{1}{2} }$

Espero ter ajudado