Question

Calcule os limites:
(a) limx→0 sin 3x/x

(b) limx→0 x^2/sin x​

Answer 1

• Calculando os limites (a) e (b) pela regra de L'Hôpital, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} =3\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} =0\end{gathered}$

Desejamos calcular os seguinte limites:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \ \ \wedge\ \ \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \end{gathered}$

De praxe, devemos substituir o valor no qual x tende, caso de uma indeterminação matemática, devemos manipular a função.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \red{\frac{0}{0}}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = \red{\frac{0}{0}}\end{gathered} }$

Como temos indeterminação em ambos os limites, iremos manipular ambos, e para isso irei utilizar a regra de L'Hôpital, dada da seguinte forma:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \lim_{x \to n} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to n} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{gathered}$

Com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} =\lim_{x \to 0} \ 3\cdot \cos(3x)=\green{3}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)}=\green{0} \end{gathered}$

Portanto, temos que o resultado dos limites (a) e (b) são respectivamente 3 e 0.

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