Calcule os lados de um tringulo retangulo, sabendo que estão em P.A de razão 5
Soluções para a tarefa
Resposta:
As medidas dos lados do triângulo retângulo são:
- Cateto 1 = 15
- Cateto 2 = 20
- Hipotenusa = 25
Por favor, acompanhar a Explicação.
Explicação passo-a-passo:
A Tarefa nos informou que os lados do triângulo retângulo estão em Progressão Aritmética de razão r = 5.
Vamos determinar as medidas dos lados, sabendo que, em um triângulo retângulo, a Hipotenusa é o lado de maior medida.
- Cateto 1 = x
- Cateto 2 = x + 5
- Hipotenusa = x + 5 + 5 = x + 10
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
- (Medida da Hipotenusa)² = (Medida do Cateto 1)² + (Medida do Cateto 2)²
Desenvolvendo o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo cujas medidas estão em uma Progressão Aritmética de razão r igual a 5:
- (x + 10)² = x² + (x + 5)²
Vamos realizar os cálculos dos polinômios acima:
(x + 10)² = x² + (x + 5)²
x² + 2 × 1x × 10 + 10² = x² + x² + 2 × 1x × 5 + 5²
x² + 20x + 100 = x² + x² + 10x + 25
x² + 20x + 100 = 2x² + 10x + 25
0 = 2x² + 10x + 25 - x² - 20x - 100
0 = 2x² - x² + 10x - 20x + 25 - 100
0 = x² - 10x - 75
x² - 10x - 75 = 0
Agora, vamos resolver a equação de segundo grau, através do método da fatoração, transformando o monômio representado pelo termo -10x em dois outros monômios: -15x e +5x.
x² - 10x - 75 = 0
x² - 15x + 5x - 75 = 0
(x) × (x - 15) + (5) × (x - 15) = 0
(x - 15) × (x + 5) = 0 ===> (x - 15) = 0 ou (x + 5) = 0
- (x - 15) = 0 ===> x - 15 = 0 ===> x = 0 + 15 ===> x = 15
- (x + 5) = 0 ===> x + 5 = 0 ===> x = 0 - 5 ===> x = -5.
Como o valor de x representa a medida de lados de uma figura geométrica, apenas será utilizado o seu valor positivo, ou seja, x = 15.
Portanto, os lados do triângulo retângulo dado têm os seguintes valores:
- Cateto 1 = x = 15
- Cateto 2 = x + 5 = 15 + 5 = 20
- Hipotenusa = x + 5 + 5 = x + 10 = 15 + 10 = 25
Apenas a título de informação, estas medidas são equivalentes às medidas do Triângulo Retângulo 3 - 4 - 5, bastando apenas multiplicar os seus lados pelo fator 5:
- 15 = 3 × 5
- 20 = 4 × 5
- 25 = 5 × 5