Question

calcule os autovalores e autovetores das matrizes abaixo

Answer 1

• O que são autovetores e autovalores?

Em uma transformação linear T: U -> V, define-se autovetor todo vetor u ∈ U que satisfaz:

T(u) = λ.u

Onde, por definição, λ é o autovalor associado ao autovetor u.

Observe que o vetor nulo sempre terá imagem igual a 0 e portanto admite infinitos autovalores. Nesse caso, não se considera 0 um autovetor justamente por ele admitir mais de um autovalor.

• Como calcular os autovalores de uma matriz?

Uma transformação linear pode ser expressa através de uma matriz. Para encontrar o autovalor de uma transformação expressa por uma matriz M devemos calcular as raízes do polinômio característico dela. Sabemos que o polinômio característico é dado por:

$\boxed{\mathsf{det(M - \mathsf{\lambda} .I)}}$

Onde:

1. M é a matriz.
2. x é o autovalor.
3. I é a matriz identidade.

Logo, encontrar os autovalores nada mais é que igualar o polinômio característico a 0 para assim obter a equação característica.

$\boxed{\mathsf{det(M - \mathsf{\lambda} .I) = 0}}$

Os valores para x obtidos serão os autovalores.

• Como encontrar os autovetores de uma matriz?

Após o cálculo do autovalor, devemos encontrar o autoespaço gerado por cada um dos autovalores. Para isso, para cada autovalor, siga o procedimento:

1. Substitua o autovalor na matriz (M - λ.I).
2. Multiplique a matriz resultante por um vetor coluna de incógnitas distintas e iguale ao vetor coluna 0.
3. Encontre a solução do sistema.
4. Ache o autoespaço.

• Resolução da questão

b)  Cálculo dos autovalores:

$M = \left(\begin{array}{cc}1&-2\\0&1\end{array}\right)\\\\\\det\left(\left(\begin{array}{cc}1&-2\\0&1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\mathsf{\lambda} &0\\0&\mathsf{\lambda} \end{array}\right)\right) = 0\\\\\\det\left(\begin{array}{cc}1-\mathsf{\lambda} &-2\\0&1-\mathsf{\lambda} \end{array}\right) = 0\\\\\\(1-\mathsf{\lambda} ).(1-\mathsf{\lambda} ) = 0 \therefore \boxed{\mathsf{\lambda} = 1}$

Cálculo dos autovetores:

Para o autovalor λ = 1:

$1.\left(\begin{array}{cc}1&-2\\0&1\end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0&-2\\0&0\end{array}\right)\\\\\\2. \left(\begin{array}{cc}0&-2\\0&0\end{array}\right). \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\\\\3.~x=y=0 \Rightarrow (0,0)\\\\4.~U_{\lambda} = (0,0)$

Portanto, não existem autovetores associados ao autovalor λ = 1. (Lembre que o vetor nulo não é considerado autovetor)

c) Cálculo dos autovalores:

$M = \left(\begin{array}{cc}5&-6\\3&-4\end{array}\right)\\\\\\det\left(\left(\begin{array}{cc}5&-6\\3&-4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\mathsf{\lambda} &0\\0&\mathsf{\lambda} \end{array}\right)\right) = 0\\\\\\det\left(\begin{array}{cc}5-\mathsf{\lambda} &-6\\3&-4-\mathsf{\lambda} \end{array}\right) = 0\\\\\\(5-\mathsf{\lambda} ).(-4-\mathsf{\lambda}) + 18 = 0 \Rightarrow \lambda^2-\lambda - 2 = 0 \therefore \boxed{\mathsf{\lambda_1} = -1}~~e~~\boxed{\mathsf{\lambda_2} = 2}$

Cálculo dos autovetores:

Para λ₁ = -1:

$1.\left(\begin{array}{cc}5&-6\\3&-4\end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}6&-6\\3&-3\end{array}\right)\\\\\\2. \left(\begin{array}{cc}6&-6\\3&-3\end{array}\right). \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\\\\3.~x = y \Rightarrow (x,x) \Rightarrow x.(1,1) \\\\4.~U_{\lambda_1} = [(1,1)]$

Assim, os autovetores associados ao autovalor -1 são todas as combinações lineares do vetor (1,1). São exemplos: {(1,1),(-1,-1),(2,2)}.

Para λ₂ = 2:

$1.\left(\begin{array}{cc}5&-6\\3&-4\end{array}\right) - \left(\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3&-6\\3&-6\end{array}\right)\\\\\\2. \left(\begin{array}{cc}3&-6\\3&-6\end{array}\right). \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right)\\\\3.~x = 2y \Rightarrow (2y,y) \Rightarrow y.(2,1) \\\\4.~U_{\lambda_2} = [(2,1)]$

Dessa forma, os autovetores associados ao autovalor 2 são todas as combinações lineares do vetor (2,1). São exemplos: {(2,1),(-2,-1),(4,2)}.

• Aprenda mais sobre autovalores e autovetores em:

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