Question

Calcule o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da função f(x)=x+1 entre 0 e 2.

Answer 1

$\boxed{\boxed{ \pi * \int\limits^a_b {f(x)^2} \, dx }}$

essa é a fórmula para rotacionar em torno do eixo x

aplicando no problema
$\pi * \int\limits^2_0 {(x+1)^2} \, dx$

resolvendo o produto notavel
$(x+1)^2=x^2+2x+1$

a integral fica
$\pi * \int\limits^2_0 {x^2+2x+1 \, dx$

integrando
$\int\limits {x^2+2x+1} \, dx = \\\\=\frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{2x^{1+1}}{1+1} +1x\\\\= \frac{x^3}{3}+ \frac{2x^2}{2} +x\\\\= \frac{x^3}{3}+x^2+x$

calculando a integral para x = 2
$\frac{2^3}{3}+2^2+2 = \frac{26}{3}$

calculando a integral para x = 0
$\frac{0^3}{3}+0^2+0=0$

agora temos
$\pi * \int\limits^2_0 {x^2+2x+1 \, dx}\\\\\\ \pi *( \frac{26}{3} -0)= \frac{26\pi}{3}$

esse é o volume gerado ao rotacionar a função em torno do eixo x ..no intervalo de 0 a 2
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$\boxed{\boxed{\pi * \int\limits^2_0 {x^2+2x+1 \, dx= \frac{26 \pi }{3} }}}$
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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} f(x) = x + 1\\I = \left[0,\,2\right]\end{cases}$

Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x -  em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = x + 1\end{gathered}$

Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x + 1)^{2} = \pi (x^{2} + 2x + 1)\end{gathered}$

Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "III", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{1}^{2} \left[\pi (x^{2} + 2x + 1)\right]\,dx \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {1}^{2} (x^{2} + 2x + 1)\,dx\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1 } +\frac{2x^{1 + 1}}{1 + 1} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{3}}{3 } +\frac{2x^{2}}{2} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt = \left[\pi\cdot\bigg(\frac{2^{3}}{3} + \frac{2\cdot2^{2}}{2} + 2\bigg)\right] - \left[\pi\cdot\bigg(\frac{0^{3}}{3} + \frac{2\cdot0^{2}} {2} + 0\bigg)\right]\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = \pi\cdot\bigg(\frac{8}{3} + \frac{8}{2} + 2\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \bigg(\frac{16 + 24 + 12}{6}\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{52\pi}{6}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{26\pi}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$