Question

Calcule o volume do paralelepípedo com vértice no ponto A(1,0,2), e seus vértices adjacentes B(1, 0, 0), C(0, 0, 2) e D(1, 3, 2). ALTERNATIVAS V = 4 unidades de volume. V = 5 unidades de volume. V = 6 unidades de volume. V = 7 unidades de volume. V = 8 unidades de volume.

Answer 1

Olá


Resposta correta, V = 6 u.v.



O volume de um paralelepípedo pode ser calculado a partir da seguinte fórmula:

$\displaystyle\mathsf{V_{Paralelepipedo}}~=~|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})|$


A fórmula diz que, o volume de uma paralelepípedo é igual ao módulo do produto misto entre 3 vetores, sendo esses vetores criados a partir dos 4 vértices desse paralelepípedo.


Então, primeiramente vamos criar os 3 vetores.


A(1,0,2)
B(1, 0, 0)
C(0, 0, 2)
D(1, 3, 2)



AB = B - A
AB = (1, 0, 0) - (1,0,2)
AB = (0, 0, -2)


AC = C-A
AC = (0, 0, 2) - (1,0,2)
AC = (-1, 0, 0)



AD = D - A
AD = (1, 3, 2) - (1,0,2)
AD = (0, 3, 0)



Agora que criamos os 3 vetores, vamos falar sobre o produto misto.
O cálculo do produto misto é bem simples, basta pegar 3 vetores e montar uma matriz 3x3... O valor do determinante, EM MÓDULO, será o volume do paralelepípedo.


Vamos calcular então


$\displaystyle|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})|~=~\mathsf{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&-2\\-1&0&0\\0&3&0\end{array}\right] }\\\\\\\\|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})|~=~\mathsf{\underbrace{(\mathsf{0+0+6})}_{diag.~principal}-\underbrace{(\mathsf{0+0+0})}_{diag.~secund\'aria}}\\\\\\\\|(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})|~=~\boxed{\mathsf{6~u.v.}}$





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