Question

Calcule o vértice da função quadrática y = -2x² + 3 - x

Answer 1

Resposta:

$V:(-\frac{1}{4} ,\frac{25}{8} )$

Explicação passo a passo:

Para descobrir qual é o vértice, podemos utilizar o conceito de derivada da função, que nos dá o coeficiente angular da reta que tangencia a função num ponto qualquer, logo, se igualarmos esse coeficiente angular (derivada da função) a zero teremos uma reta na horizontal, ou seja, em um ponto máximo ou mínimo da função. Ao analisar a equação de percebemos que o termo que multiplica com a variável quadrática é menor que zero (negativo), logo se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo, então nosso vértice será um ponto máximo da parábola. Derivando :

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(f(x)+\Delta x)+f(x)}{\Delta x}$

$f(x)=-2x^{2} -x+3$

Aplicando no limite:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-2(x+\Delta x)^{2}+-(x+\Delta x)+3 )+(-2x^{2}+-x+3)}{\Delta x}$

$\frac{dy}{dx} = -4x-1$

Agora vamos igualar a derivada a zero pra encontrarmos o ponto em que é máximo (vértice):

$\frac{dy}{dx} = 0$

$-4x-1=0$

$4x=-1$

$x=-\frac{1}{4}$

Sabendo o valor de $x$ no ponto máximo, substituímos em $f(x)$ para encontrar a coordenada $y$:

$f(x)=-2x^{2} -x+3$

com $x=-\frac{1}{4}$ temos:

$y=-2(-\frac{1}{4}^{2} )-(-\frac{1}{4})+3$

$y=-\frac{1}{8} +\frac{1}{4}+3$

$y=\frac{1}{8} +3$

$y=\frac{25}{8}$

O vértice (ponto máximo) da função dada está em:

$V:(-\frac{1}{4} ,\frac{25}{8} )$